Съдържание

НОФ 2020, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Хари Потър играе магьосническата игра “куидич”

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 28 юни 2020 г. · 15 т.

Условие

Магьосническата игра “куидич” представлява вид баскетбол, но вместо играчите да са на земята, те летят на летящи магьоснически метли. Хари Потър се намира на височина $a$ от земята с неговата магьосническа метла (“Нимбус 2000” – най-бързата на света по това време). Той вижда своя съотборник - Фред Уизли, на височина $b$ от земната повърхност ( $b > a$ ). Фред се намира на разстояние $l$ от Хари, мерено по хоризонталата, тоест проекциите на Хари и на Фред върху земната повърхност се намират на разстояние $l$ една от друга. Хари подава топката (специална топка, която се казва “куофъл”) на Фред.

(a) Изберете координатна система и в нея напишете закона за пътя и за скоростта на движение на куофъла, ако Хари го е хвърлил под ъгъл $\alpha$ с начална скорост $v_0$ . Считаме, че никаква магия не действа върху куофъла, докато той се движи, а единствено законите на физиката, вблизост до земната повърхност със земно ускорение $g$ . [2 т.]

(b) Ако куофълът попада точно при Фред, а Фред не се е преместил от началното си положение, изразете скоростта на куофъла, с която Хари го е хвърлил, чрез $\alpha$ , $a$ , $b$ и $l$ . [4 т.]

(c) От получения израз намерете минималната скорост, с която Хари трябва да хвърли куофъла, така че той да попадне точно при Фред.

Упътване: В зависимост от начина на решение можете да намерите максимума (минимума) на израз от вида $A\sin(x) - B\cos(x)$ , като го умножите и разделите на $\sqrt{A^2+B^2}$ и отчетете, че съществува ъгъл $\theta$ , такъв че $\mathrm{tg}(\theta) = \frac{B}{A}$ . По този начин: $A\sin(x) - B\cos(x) = \sqrt{A^2+B^2}\sin(x-\theta)$ . [4 т.]

(d) Докажете, че ъгълът на хвърляне при тази минимална скорост е равен на половината от тъпия ъгъл, който сключва правата между Хари и Фред с вертикалата. [3 т.]

(e) Разгледайте частния случай, когато $b = a$ , тоест Хари и Фред летят на една и съща височина. Колко е ъгълът $\alpha$ тогава, ако Хари е хвърлил куофъла с минималната скорост за да достигне той Фред? [2 т.]

Отговори

Решение

(a) На фиг. 1 е начертана координатна система. Очевидно

x = v_0 t\,\cos\alpha \qquad (1)

[0,5 т.]

y = a + v_0 t\sin\alpha - gt^2/2 \qquad (2)

[0,5 т.]

v_x = v_{0x} = v_0\cos\alpha \qquad (3)

[0,5 т.]

v_y = v_{0y} - gt = v_0\sin\alpha - gt \qquad (4)

[0,5 т.]

(b) Лесно изразяваме времето $t$ от (1) и замествайки в (2), получаваме уравнението на траекторията:

y = a + x\,\mathrm{tg}\,\alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} \qquad (5)

[2 т.]

Координатна система с траектория на хвърлената топка и означени ъгли alpha, theta, beta. — Фиг. 1 — координатна система, траектория на куофъла от $A$ (Хари) до $C$ (Фред), ъглите $\alpha$ , $\theta$ и $\beta$ .

След като имаме уравнението на траекторията, знаейки че топката е попаднала при Фред, тогава $x=l$ и $y=b$ удовлетворяват това уравнение, т.е.

b = a + l\,\mathrm{tg}\,\alpha - \frac{gl^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} \qquad (6)

Оттук намираме $v_0$ :

v_0 = \sqrt{\frac{gl^2}{2\cos^2\alpha\,(a-b+l\,\mathrm{tg}\,\alpha)}} \qquad (7)

[2 т.]

(c) Полученият израз в Ур. (7) има минимум, когато знаменателят му има максимум. Функцията

f(\alpha) = 2\cos^2\alpha\,(a - b + l\,\mathrm{tg}\,\alpha)

може лесно да се опрости във вида $A\,\sin(x) - B\cos(x)$ . С малко тригонометрични преобразувания имаме:

f(\alpha) = l\sin 2\alpha - (b-a)\cos 2\alpha - (b-a). \qquad (8)

[2 т.]

Използвайки упътването, горната функция се пренаписва във вида:

f(\alpha) = \sqrt{l^2 + (b-a)^2}\left[\frac{l}{\sqrt{l^2+(b-a)^2}}\sin 2\alpha - \frac{b-a}{\sqrt{l^2+(b-a)^2}}\cos 2\alpha\right] - \frac{b-a}{2} \qquad (9)

И ако положим за острия ъгъл $\theta$ :

\mathrm{tg}\,\theta = \frac{b-a}{l}

Получаваме:

f(\alpha) = \sqrt{l^2+(b-a)^2}\,\sin(2\alpha - \theta) - (b-a)

Очевидно е, че максимумът на $f(\alpha)$ се постига когато

\sin(2\alpha_0 - \theta) = 1 \qquad (10)

[1 т.]

Тогава

f(\alpha_0) = \sqrt{l^2+(b-a)^2} - (b-a)

и за минималната начална скорост, с която Хари Потър трябва да хвърли топката към Фред, така че тя да попадне точно при него, получаваме:

v_{0,min} = \sqrt{g\left(\sqrt{l^2+(b-a)^2} - a + b\right)} \qquad (11)

[1 т.]

(d) От Ур. (10) получаваме

\alpha_0 = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \qquad (12)

[1 т.]

От Фиг. 1 обаче, веднага се вижда, че

\beta = \frac{\pi}{2} + \theta \qquad (13)

[1 т.]

и оттук

\alpha_0 = \frac{\beta}{2} \qquad (14)

[1 т.], което трябваше да се докаже.

(e) Ако $b = a$ , $\theta = 0$ [1 т.] $\qquad (15)$

и тогава от Ур. (12) получаваме

\alpha = \frac{\pi}{4} \qquad (16)

[1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2020_11-12solutions.pdf