Съдържание

Условие Част 1.Част 2.Решение

НОФ 2021, II кръг (областен), 11. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Олимпиада по физика 2021, областен кръг, тема за 11. клас (пета състезателна група) · 20 февруари 2021 г. · 10 т.

Решения и указания за оценяване

Дадените решения са примерни. Допустими са всички други обосновани решения.
При алтернативни решения комисията съставя свои критерии за оценяване, като се съобразява с максималния брой точки по всяко подусловие.
Числените отговори се приемат за верни само ако съответните стойности са представени с подходящите мерни единици.

Условие

Част 1.

Еднородна пръчка с маса $M$ и дължина l е закачена за две пружини с коефициенти на еластичност $k_1$ и $k_2$ съответно. Двете пружини имат еднаква дължина, когато не са в деформирано състояние. След това се закача допълнителна теглилка с маса m, така че пръчката е хоризонтална (Фиг. 3).

Фиг. 3. Пръчка на две пружини с теглилка.

А) Намерете силите на опън $F_1$ и $F_2$ , действащи на двете пружини. [1,5 т.]

Б) На какво разстояние x от левия край на пръчката трябва да се постави теглилка с маса m? [1,5 т.]

В) Намерете вертикалният период на трептене $T$ на полученото махало. [1 т.]

Част 2.

Влак-играчка с обща маса M и с обща дължина L се състои от голям брой малки вагони (Фиг. 4). От едната страна влакът се допира до бутало с маса m, което е закрепено към недеформирана пружина с коефициент на еластичност k. Другият край на влака се намира в основата на наклонена равнина, сключваща ъгъл α с хоризонта. Влакът се отмества на разстояние d вляво така, че пружината да се свие. След като бъде освободена, пружината избутва влака към наклонена равнина. Влакът спира, когато част от дължината на композицията се намира върху наклонената равнина.

Фиг. 4. Влак, пружина и наклонена равнина.

А) Колко време $t_0$ пружината ще действа върху играчката? [1 т.]

Б) Намерете с каква скорост $v_0$ играчката ще достигне наклонената равнина. [1 т.]

В) След колко време t играчката ще спре, след като започне да се изкачва по наклона? [4 т.]

Триенето да се пренебрегне. Да не се отчитат дължината на вагоните и разстоянията между тях.

Решение

А) [Максимум 1,5 точки] Двете пружини са с еднаква дължина в недеформирано състояние. За да бъде пръчката хоризонтална след като е закачена допълнителната теглилка, това означава, че деформациите на двете пружини са равни, т.е.

$\Delta x_1 = \Delta x_2 = \Delta x$ …(0,5 т.)

Записваме условието за равновесие на пръчката:

$Mg + mg - F_1 - F_2 = 0$

(M+m)g = (k_1+k_2)\Delta x

\Delta x = \frac{(M+m)g}{k_1+k_2}

За намиране на деформацията на пружините (0,5 т.)

След като сме намерили деформацията $\Delta x$ на двете пружини лесно се намират силите на еластичност $F_1 = k_1\Delta x$ и $F_2 = k_2\Delta x$ .

F_1 = k_1\frac{(M+m)g}{k_1+k_2}

F_2 = k_2\frac{(M+m)g}{k_1+k_2}

За получаване на верен отговор (0,5 т.)

Б) [Максимум 1,5 точки] За да определим разстоянието x ще използваме второто условие за равновесие на твърдо тяло, свързано с моментите на въртене. Избираме ос на въртене - левия край на пръчката.

$mgx + Mgl/2 - F_2 l = 0$

За правилно написано условие за равновесие (0,5 т.)

лесно се намира търсеното x:

x = \frac{F_2 l - Mgl/2}{mg}

Като използваме намерената вече сила $F_2$ и заместим:

x = \frac{l}{m}\left(\frac{k_2(M+m)}{k_1+k_2} - \frac{M}{2}\right)

За верен отговор (1 т.)

В) [Максимум 1 точка] За да намерим периода на трептене на полученото махало е необходимо да намерим еквивалентния коефициент на еластичност. От подусловие А) е ясно, че еквивалентния коефициент на еластичност е $k = k_1 + k_2$ …(0,5 т.)

Периодът е: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m+M}{k_1+k_2}}$

За намиране на периода на трептене (0,5 т.)

Част 2.

А) [Максимум 1 точка] Пружината ще действа със сила върху играчката, докато деформацията на пружината не стане равна на нула, т.е. търсеното време е една четвърт от периода на полученото хоризонтално пружинно махало:

t_0 = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m+M}{k}}

За достигане до верен отговор (0,5 т.)

След това буталото намалява скоростта си, заради разтягането на пружината, а влакът се отделя от буталото и продължава движението си по инерция. …(0,5 т.)

Б) [Максимум 1 точка] Използваме закона за запазване на енергията. Потенциалната енергия на свитата пружина ще се превърне изцяло в кинетична, при достигане на равновесното положение:

\frac{kd^2}{2} = \frac{(m+M)v_0^2}{2}

За правилно прилагане на закона за запазване на енергията (0,5 т.)

v_0 = d\sqrt{\frac{k}{m+M}}

За верен отговор (0,5 т.)

Влакът частично върху наклонената равнина.

В) [Максимум 4 точки] Разглеждаме произволен момент от време, когато върху наклона се е изкачила x част от композицията на влака-играчка. Центърът на масата на изкачената част се намира по средата.

Следователно височината на центъра на масата е:

$h = x\sin\alpha/2$ , …(0,5 т.)

Масата на изкачената част е $m = Mx/L$ . …(0,5 т.)

Прилагаме закона за запазване на енергията:

\frac{Mv_0^2}{2} = \frac{Mv^2}{2} + mgh

\frac{Mv_0^2}{2} = \frac{Mv^2}{2} + \frac{Mx}{2L}g\cdot x\sin\alpha

\frac{Mv_0^2}{2} = \frac{Mv^2}{2} + \frac{Mg\sin\alpha}{L}\cdot\frac{x^2}{2}

За достигане на уравнението (1 т.)

Лявата страна на равенството $\frac{Mv_0^2}{2} = const$ . Дясната страна се явява аналог на енергия на махало, извършващо хармонично трептене. От коефициентите пред $x^2$ и $v^2$ лесно намираме кръговата честота $\omega$ на това трептене.

\omega = \sqrt{\frac{g\sin\alpha}{L}}

Тогава периодът е $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g\sin\alpha}}$ … За определяне на периода (1 т.)

Играчката ще спре напълно след време четвърт период – аналог на движение на махало, преминаващо през равновесното положение и достигащо максимална височина:

$t = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{L}{g\sin\alpha}}$ … За определяне на времето (1 т.)

Оригинал в Архива: NOF2_2021_11problems.pdf · официални решения: NOF2_2021_11solutions.pdf