Съдържание

НОФ 2021, II кръг (областен), 12. клас — Задача 1. Потъване

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Олимпиада по физика 2021, областен кръг, тема за 12. клас (шеста състезателна група) · 20 февруари 2021 г. · 10 т.

Условие

Меко гумено тяло има маса $m$ . Плътността на гумата е $\rho$ . В тялото има въздушна кухина с обем $V_0$ . Налягането $p_0$ на въздуха в кухината е равно на външното атмосферно налягане. Плътността на въздуха е много по-малка от плътността на гумата. Тялото е поставено в съд с вода и плава на повърхността ѝ. Плътността на водата е $\rho_{\mathrm{В}}$ ( $\rho_{\mathrm{В}} < \rho$ ).

а) Намерете каква част $x$ от обема на тялото се намира под вода ( $x$ е отношението на обема под вода към целия обем на тялото; обемът на въздушната кухина е част от обема на тялото). [3 т.]

Съдът с вода се намира в камера, в която може да се мени налягането на въздуха. Първоначално налягането вътре е равно на армосферното $p_0$ . Когато налягането нарасне с $\Delta p$ , тялото изцяло се потопява във водата. Приемете, че плътността на гумата и на водата не зависят от налягането, налягането в камерата и налягането на въздушния мехур вътре в тялото са винаги равни, както и че температурата на всички части на системата не се променя.

б) Изразете $\Delta p$ чрез дадените величини ( $p_0, V_0, m, \rho$ и $\rho_{\mathrm{В}}$ ). [3 т.]

в) Съществува дълбочина $H$ , такава, че ако тялото се потопи на тази дълбочина, дори налягането в камерата да намалее обратно до $p_0$ , тялото не може да изплава, а ще продължи да потъва. Намерете формула за дълбочината $H$ . [2 т.]

г) Изчислете стойностите на $x$ , $\Delta p$ и $H$ при следните стойности на дадените величини: $p_0 = 1{,}00.\,10^5\ \mathrm{Pa}$ , $m = 10{,}0\ \mathrm{g}$ , $\rho_{\mathrm{В}} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ , $\rho = 1250\ \mathrm{kg/m^3}$ и $V_0 = 4{,}00\ \mathrm{cm^3}$ . [2 т.]

Решение

а) На повърхността на водата тялото е в равновесие, следователно силата на тежестта му се уравновесява с действащата му Архимедова сила. Нека бележим целия обем на тялото с $V$ , а обема на потопената му част с $V_{\mathrm{п}}$ . Тъй като $mg = \rho_{\mathrm{В}}V_{\mathrm{п}}g$ [1 т.] и $V = V_0 + \frac{m}{\rho}$ [1 т.], то $x = \frac{V_{\mathrm{п}}}{V} = \frac{\frac{m}{\rho_{\mathrm{В}}}}{V_0+\frac{m}{\rho}}$ . [1 т.]

б) Когато налягането нарасне с $\Delta p$ , обемът на въздушната кухина в тялото ще се намали до $V_{\Delta p}$ . Тъй като свиването е изотермно, то $p_0V_0 = (p_0 + \Delta p)V_{\Delta p}$ . [1 т.] Тъй като тогава тялото се потапя изцяло, то $x = \frac{\frac{m}{\rho_{\mathrm{В}}}}{V_{\Delta p}+\frac{m}{\rho}} = 1$ . [1 т.] Следователно $V_{\Delta p} = m\left(\frac{1}{\rho_{\mathrm{В}}} - \frac{1}{\rho}\right)$ и $\Delta p = \frac{p_0V_0}{V_{\Delta p}} - p_0 = p_0\left(\frac{V_0}{V_{\Delta p}} - 1\right) = p_0\left(\frac{V_0}{m\left(\frac{1}{\rho_{\mathrm{В}}}-\frac{1}{\rho}\right)} - 1\right)$ . [1 т.]

в) Ако тялото се потопи на дълбочина $H$ , там налягането ще нарасне допълнително с $\rho_{\mathrm{В}}gH$ . Ако външното налягане се възстанови до $p_0$ , то тялото (и въздушната кухина в него) ще бъде под налягане $p_0 + \rho_{\mathrm{В}}gH$ . Ако $\rho_{\mathrm{В}}gH$ стане равно на $\Delta p$ , на тази дълбочина тялото ще има неутрална плаваемост. На по-голяма дълбочина обемът на въздушната кухина ще намалее още, силата на тежестта ще стане по-голяма от Архимедовата сила и тялото ще потъва необратимо. [1 т.] Следователно $\rho_{\mathrm{В}}gH = \Delta p$ , откъдето $H = \frac{\Delta p}{\rho_{\mathrm{В}}g} = \frac{p_0}{\rho_{\mathrm{В}}g}\left(\frac{V_0}{m\left(\frac{1}{\rho_{\mathrm{В}}}-\frac{1}{\rho}\right)} - 1\right)$ . [1 т.]

г) При дадените стойности $x = \frac{\frac{m}{\rho_{\mathrm{В}}}}{V_0+\frac{m}{\rho}} = \frac{1}{\rho_{\mathrm{В}}\left(\frac{V_0}{m}+\frac{1}{\rho}\right)} = \frac{1}{10^3\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\left(\frac{4.10^{-6}\,\mathrm{m^3}}{10^{-2}\,\mathrm{kg}}+\frac{1}{1250\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}}\right)} = \frac{5}{6} \approx 0.83$ . [0.8 т.], $\Delta p = p_0\left(\frac{V_0}{m\left(\frac{1}{\rho_{\mathrm{В}}}-\frac{1}{\rho}\right)} - 1\right) = 10^5\,Pa\left(\frac{4.10^{-6}\,\mathrm{m^3}}{10^{-2}\,\mathrm{kg}\left(\frac{1}{1000\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}}-\frac{1}{1250\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}}\right)} - 1\right) = 1{,}00.\,10^5\,\mathrm{Pa}$ . [0.7 т.], $H = \frac{\Delta p}{\rho_{\mathrm{В}}g} = \frac{1{,}00.10^5\,\mathrm{Pa}}{1000\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}.10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}} = 10{,}0\ \mathrm{m}$ . [0.5 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2021_12problems.pdf · официални решения: NOF2_2021_12solutions.pdf