НОФ 2021, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Кинематика

• а) $a_\mathrm{м} = \frac{2(v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - d)}{t_\mathrm{и}^2} = 0{,}4\ \mathrm{m/s^2},\qquad s_\mathrm{м} = v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - d = 20\ \mathrm{m}$

  Изминатият от мотоциклетиста път е $s_\mathrm{м} = 20\ \mathrm{m}$.

• б) $\frac{v_\mathrm{в}}{v_\mathrm{м}} = \frac{v_\mathrm{в} t_\mathrm{и}}{2(v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - d)} = 2{,}5$

  Скоростта на мотоциклета в този момент е $v_\mathrm{м} = a_\mathrm{м} t_\mathrm{и} = 4\ \mathrm{m/s}$.

• в) $t' = \frac{v_\mathrm{в} t_\mathrm{и}^2}{2(v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - d)} = 25\ \mathrm{s},\qquad d' = \frac{(v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - 2d)^2}{4(v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - d)} = 45\ \mathrm{m}$

  Разстоянието между велосипеда и мотоциклета в този момент е $d' = 45\ \mathrm{m}$.

• г) $v_\mathrm{в,min} = \sqrt{2 d a_\mathrm{м}} = \frac{2\sqrt{d(v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - d)}}{t_\mathrm{и}} = 8\ \mathrm{m/s},\qquad t_\mathrm{и,max} = 20\ \mathrm{s},\qquad s_\mathrm{м,max} = d = 80\ \mathrm{m}$

  Времето е $t_\mathrm{и,max} = \sqrt{2d/a_\mathrm{м}} = 20\ \mathrm{s}$, а изминатият от мотоциклета път е $s_\mathrm{м,max} = d = 80\ \mathrm{m}$.

а) Изминатият от велосипеда път от началния момент до момента на изпреварването е $s_\mathrm{в} = v_\mathrm{в} t_\mathrm{и}$. [0,5 т.] Условието велосипедът да настигне мотоциклета е $s_\mathrm{в} = d + s_\mathrm{м}$, откъдето $s_\mathrm{м} = s_\mathrm{в} - d = v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - d = 20\ \mathrm{m}$. [1 т.] За това време мотоциклетът изминава път $s_\mathrm{м} = \dfrac{a_\mathrm{м} t_\mathrm{и}^2}{2}$, т.е.

[1 т.]

б) При равноускорителното си движение мотоциклетът развива скорост $v_\mathrm{м} = a_\mathrm{м} t_\mathrm{и}$. [0,5 т.] Търсеното отношение е

[1 т.]

в) В момента на изравняване на скоростите $v_\mathrm{в} = v'_\mathrm{м} = a_\mathrm{м} t'$, където $v'_\mathrm{м}$ е скоростта на мотоциклета в този момент. Оттук

[1 т.] Разстоянието между велосипеда и мотоциклета в този момент е

[1,5 т.]

г) В този случай трябва да съвпадат скоростите на двете превозни средства в момента на настигането: $v_\mathrm{в,min} = a_\mathrm{м} t_\mathrm{и,max}$. [0,5 т.] Освен това, се изпълняват съотношенията $s_\mathrm{м,max} = v_\mathrm{в,min} t_\mathrm{и,max} - d = \dfrac{a_\mathrm{м} t_\mathrm{и,max}^2}{2}$. [0,5 т.] Следователно

[1 т.] Съответно $t_\mathrm{и,max} = \sqrt{\dfrac{2d}{a_\mathrm{м}}} = t_\mathrm{и}\sqrt{\dfrac{d}{v_\mathrm{в} t_\mathrm{и} - d}} = 20\ \mathrm{s}$ [1 т.] и $s_\mathrm{м,max} = d = 80\ \mathrm{m}$ [0,5 т.].