Съдържание

НОФ 2021, II кръг (областен), 9. клас — Задача 3. Хидравлична везна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Областен кръг на олимпиадата по физика 2021, тема за трета състезателна група (9 клас) · 20 февруари 2021 г. · 10 т.

Условие

U-образна тръба, пълна с вода; в двете вертикални части има еднакви бутала с блюда — вляво теглилка m₁, вдясно предмет m₂. — Фиг. 3 — хидравлична везна: U-образна тръба с две бутала и две блюда.

За да измерите масата на даден предмет с равнораменна везна, е нужно да разполагате с комплект от няколко теглилки с известна маса. Често пъти обаче е налична само една теглилка. Един начин да се определи масата на предмета в този случай е с устройство, наречено хидравлична везна, показано на фиг. 3. Хидравличната везна се състои от U – образна тръба с площ на напречното сечение $S = 1{,}5\ \mathrm{cm}^3$ , пълна с вода с плътност $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ . В двете вертикални части на тръбата са поставени еднакви бутала, които може да се движат свободно по тръбата. Към буталата са закрепени две еднакви блюда, които първоначално са неподвижни. На блюдата едновременно се поставят теглилка с маса $m_1 = 20\ \mathrm{g}$ и предмет с неизвестна маса $m_2$ . След като везната се уравновеси, блюдото с теглилката се намира на височина $x = 3\ \mathrm{cm}$ над началното си положение.

Приемете, че $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Определете масата m₂ на предмета върху дясното блюдо. [6 т.]

б) С колко джаула се променя общата потенциална енергия на телата върху блюдата и на водата в тръбата от началния момент до момента, в който везната се уравновеси. Обяснете накратко (с две – три изречения) какви енергетични превръщания настъпват през това време. [4 т.]

Отговори

Решение

U-образна тръба с двете бутала, изместени на разстояние x нагоре (ляво) и надолу (дясно) спрямо пунктираната начална линия. — Уравновесената хидравлична везна: лявото бутало се е издигнало с $x$ , дясното е слязло с $x$ .

а) Когато лявото блюдо се издига, в лявото коляно на тръбата се втича вода с обем $V = Sx$ . Същият обем вода обаче изтича от дясното коляно. Следователно дясното блюдо се премества надолу на разстояние x. [1,0 т]

Налягането на течността под лявото блюдо е:

p_1 = p_\mathrm{A} + \frac{(M + m_1)g}{S},

[1,0 т]

където $p_\mathrm{A}$ е атмосферното налягане, а M – сумарната маса на блюдото и буталото. Налягането под дясното бутало съответно се дава с израза:

p_2 = p_\mathrm{A} + \frac{(M + m_2)g}{S},

[1,0 т]

Разликата между двете налягания съответства на хидростатичното налягане на воден стълб с височина $h = 2x$ :

p_2 - p_1 = \rho g(2x)

[1,0 т]

Така получаваме уравнението:

\frac{(m_2 - m_1)g}{S} = 2\rho gx,

от което изразяваме неизвестната маса:

m_2 = m_1 + 2\rho Sx.

[1,0 т]

За да получим числения отговор, е нужно да изразим всички величини в дясната страна на формулата с основни единици от SI: $m_1 = 0{,}02\ \mathrm{kg}$ ; $S = 0{,}00015\ \mathrm{m^2}$ ; $x = 0{,}03\ \mathrm{m}$ . Така намираме:

m_2 = 0{,}02\ \mathrm{kg} + 2\,.\,1000\ \mathrm{kg/m^3}\,.\,0{,}00015\ \mathrm{m^2}\,.\,0{,}03\ \mathrm{m} = 0{,}029\ \mathrm{kg}\ (\text{т. е. } 29\ \mathrm{g}).

[1,0 т]

Същият резултат в грамове може да бъде получен, ако се изрази плътността в грамове върху кубичен сантиметър: $\rho = 1\ \mathrm{g/cm^3}$ . Точката за крайния числен отговор се дава, независимо дали масата е изразена в грамове или в килограми.

б) Потенциалната енергия на теглилката се увеличава с:

\Delta E_{\mathrm{п}1} = m_1gx

[0,5 т]

Потенциалната енергия на предмета върху дясното блюдо намалява, защото той се премества надолу. Съответната промяна на потенциалната енергия е отрицателна:

\Delta E_{\mathrm{п}2} = -m_2gx = -m_1gx - 2\rho gSx^2

[0,5 т]

Освен това воден стълб с маса $m = \rho Sx$ се измества от дясното в лявото коляно на тръбата, като височината на центъра на стълба се увеличава с $h = x$ . Следователно потенциалната енергия на водата се увеличава с:

\Delta E_{\mathrm{п}3} = mgx = \rho gSx^2

[1,0 т]

Общата промяна на потенциалната енергия на телата върху блююдата и на водата е:

\Delta E_\mathrm{п} = \Delta E_{\mathrm{п}1} + \Delta E_{\mathrm{п}2} + \Delta E_{\mathrm{п}3} = -\rho gSx^2

[0,5 т]

Като заместим с числените стойности, намираме:

\Delta E_\mathrm{п} = -1000\ \mathrm{kg/m^3}\,.\ 10\ \mathrm{m/s^2}.\ 0{,}00015\ \mathrm{m^3}\,.\ (0{,}03\ \mathrm{m})^2 = -0{,}00135\ \mathrm{J}.

[0,5 т]

Потенциалната енергия на системата намалява, защото поради триене между буталата и и тръбата, както и между водата и тръбата, част от началната механична енергия се преобразува в топлина. [1,0 т]

Оригинал в Архива: NOF2_2021_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2021_9solutions.pdf