Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 10. клас — Задача 1. Трупчета и макари

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, тема за IV състезателна група (10. клас) · 9 май 2021 г. · 10 т.

Условие

Три трупчета с неизвестни маси са свързани с безмасови неразтегливи нишки за две безмасови макари, както е показано на фиг. 1. Лявото трупче (с маса $m_1$ ) е върху хоризонтална повърхност, докато десните трупчета (с маси $m_2$ и $m_3$ ) висят свободно. Лявата макара е подвижна, докато дясната макара е неподвижно закрепена. В началото трупчето с маса $m_1$ се намира върху грапава област от хоризонталната повърхност, където коефициентът на триене $k > 0$ между трупчето и повърхността е неизвестен. След като механичната система е пусната да се движи свободно, трупчето с маса $m_1$ има неизвестно ускорение $a_1$ , а трупчето с маса $m_2$ има друго неизвестно ускорение $a_2$ . В един момент след това нишката между трупчетата с маси $m_2$ и $m_3$ е прерязана. След срязването на нишката силите на опън на останалите нишки стават две трети от предишните (намаляват с една трета), а ускоренията на трупчетата с маси $m_1$ и $m_2$ намаляват наполовина. При движението си след този момент лявото трупче достига гладка област от хоризонталната повърхност, където $k = 0$ , и ускорението му нараства с 50% (става три четвърти от първоначалното му ускорение $a_1$ ). Може да използвате, че земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Като използвате, че отношенията на масите на трупчетата са $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : x : y$ , определете първоначалния коефициент на триене $k$ и числата $x$ и $y$ . [7,5 т.]

б) На колко са равни големините на първоначалните ускорения $a_1$ и $a_2$ на трупчетата с маси $m_1$ и $m_2$ ? [1 т.]

в) Ако при окончателното движение на лявото трупче върху гладката повърхност силата на опън, която му действа, е равна на 5 N, намерете стойностите на масите $m_1$ , $m_2$ и $m_3$ . [1,5 т.]

Решение

а) Първоначално на лявото трупче (с маса $m_1$ ) действа силата на тежестта $G_1 = m_1g$ надолу, реакцията на опората $R = G_1$ нагоре, силата на опън $T_1$ надясно и силата на триене $f = kR = km_1g$ наляво. [0,5 т.] На трупчетата с маси $m_2$ и $m_3$ действат сили на тежестта $G_2 = m_2g$ и $G_3 = m_3g$ , но силата на опън от страна на дясната макара е $T_2 = 2T_1$ [0,5 т.] (следствие от безмасовостта на макарите), както може да се види на чертежа вляво. Може да се съобрази, че трупчетата с маси $m_2$ и $m_3$ ще се движат надолу с ускорение $a_2 = a_1/2$ , тъй като те изминават двойно по-малък път от лявото трупче, а пътят е пропорционален на ускорението при движение без начална скорост. [0,5 т.] Като приложим II принцип на Нютон, ще получим: $m_1a_1 = T_1 - km_1g$ [0,5 т.] (за лявото трупче) и $(m_2 + m_3)a_2 = (m_2 + m_3)g - T_2$ [0,5 т.] (за десните трупчета). Изразяваме $T_2$ чрез $T_1$ и $a_1$ чрез $a_2$ от по-горе, след което се получава, че $2m_1a_2 = T_1 - km_1g$ и $(m_2 + m_3)a_2 = (m_2 + m_3)g - 2T_1$ . От последните две уравнения може да изразим $a_2 = \dfrac{(m_2+m_3-2km_1)g}{4m_1+m_2+m_3}$ и $T_1 = \dfrac{(k+2)m_1(m_2+m_3)g}{4m_1+m_2+m_3}$ . [0,5 т.] След срязването на нишката трупчето с маса $m_3$ вече не е част от системата и ускоренията на останалите две трупчета се променят. Ще означим новото ускорение на лявото трупче с $a_1^{'}$ , а ускорението на трупчето с маса $m_2$ ще стане $a_2^{'}$ , като отново $a_1^{'} = 2a_2^{'}$ . Силите на опън ще станат $T_1^{'}$ и $T_2^{'} = 2T_1^{'}$ . За да получим новите изрази за ускоренията и силите на опън, трябва да премахнем $m_3$ от горните изрази за $a_2$ и $T_1$ : $a_2^{'} = \dfrac{(m_2-2km_1)g}{4m_1+m_2}$ , а $T_1^{'} = \dfrac{(k+2)m_1m_2g}{4m_1+m_2}$ . [0,5 т.] След като лявото трупче достигне гладката област от повърхността, трябва да положим $k = 0$ в съответните изрази. Окончателното ускорение на лявото трупче е $a_1^{''} = 2a_2^{''} = \dfrac{2m_2g}{4m_1+m_2}$ . [0,5 т.] По условие $a_1^{''} = \dfrac{3a_1^{'}}{2} = 3a_2^{'}$ , откъдето $\dfrac{2m_2g}{4m_1+m_2} = \dfrac{3(m_2-2km_1)g}{4m_1+m_2}$ , т.е. $2x = 3(x - 2k)$ и съответно $x = 6k$ . [0,5 т.] По условие $T_1^{'} = \dfrac{2T_1}{3}$ , откъдето $\dfrac{m_2}{4m_1+m_2} = \dfrac{2(m_2+m_3)}{3(4m_1+m_2+m_3)}$ и $\dfrac{x}{4+x} = \dfrac{2(x+y)}{3(4+x+y)}$ . След опростяване имаме, че $x(x + y + 4) = 8y$ . [0,5 т.] От условието $a_2 = 2a_2^{'}$ се получава, че $\dfrac{m_2+m_3-2km_1}{4m_1+m_2+m_3} = \dfrac{2(m_2-2km_1)}{4m_1+m_2}$ и $\dfrac{x+y-2k}{4+x+y} = \dfrac{2(x-2k)}{4+x}$ . След значителни опростявания стигаме до съотношението $k(x + 2y + 4) = 2y$ . [1 т.] Като решим получените уравнения, намираме $k = 2/3$ , $x = 4$ и $y = 8$ . [1,5 т.]

б) Първоначалните ускорения на трупчетата са $a_1 = 2a_2 = \dfrac{2(m_2+m_3-2km_1)g}{4m_1+m_2+m_3} = \dfrac{2(x+y-2k)g}{4+x+y} = \dfrac{4g}{3} \approx 13\ \mathrm{m/s^2}$ и $a_2 = \dfrac{(m_2+m_3-2km_1)g}{4m_1+m_2+m_3} = \dfrac{(x+y-2k)g}{4+x+y} = \dfrac{2g}{3} \approx 7\ \mathrm{m/s^2}$ . [1 т.]

в) След достигане на гладката област силата на опън на лявата нишка става $T_1^{''} = \dfrac{2m_1m_2g}{4m_1+m_2} = \dfrac{2xm_1g}{4+x} = 5\ \mathrm{N}$ [0,5 т.], откъдето $m_1 = \dfrac{(4+x)T_1^{''}}{2xg} = \dfrac{T_1^{''}}{g} \approx 0{,}5\ \mathrm{kg}$ . [0,5 т.] Останалите маси са съответно $m_2 = 4m_1 = \dfrac{4T_1^{''}}{g} \approx 2\ \mathrm{kg}$ и $m_3 = 8m_1 = \dfrac{8T_1^{''}}{g} \approx 4\ \mathrm{kg}$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2021_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_10solutions.pdf