Съдържание

Условие Част 1. Заглушаване на звук (4 т.)Част 2. Опит на Юнг (6 т.)Решение

НОФ 2021, III кръг (национален), 10. клас — Задача 2. Физика на вълните

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, тема за IV състезателна група (10. клас) · 9 май 2021 г. · 10 т.

Условие

Общите закономерности при разпространение на вълните са еднакви, както при механичните вълни, така и при електромагнитните вълни (включително при светлината) Задачата се състои от две независими части, в които се разглеждат явленията интерференция и дифракция при механични вълни (звук) и при светлина.

Част 1. Заглушаване на звук (4 т.)

Източник на звук (високоговорителят $A$ ) и приемник на звук (микрофонът $B$ ) са поставени симетрично спрямо звукоизолираща стена на разстояние $d = 20\ \mathrm{cm}$ от нея (фиг. 2 а). След като в стената е пробит малък отвор $O_1$ , намиращ се на разстояние $x = 15\ \mathrm{cm}$ от правата $AB$ , микрофонът регистрира звук.

а) Защо микрофонът регистрира звук, въпреки че отворът не се намира на правата, свързваща източника и приемника?

б) В стената е пробит втори отвор $O_2$ , намиращ се на правата $AB$ , както е показано на фиг. 2(б). Ако честотата $\nu$ на звука се увеличава плавно, се оказва че при определени честоти микрофонът се „заглушава“, т.е. не регистрира звук. Определете минималната честота $\nu_{\min}$ , при която звукът в т. $B$ се заглушава.

Скоростта на звука във въздуха е $u = 340\ \mathrm{m/s}$ .

Част 2. Опит на Юнг (6 т.)

Ученик решил да повтори опита на Юнг с достъпните уреди и материали в кабинета по физика. На фиг. 3 е показана схема на опитната постановка. Светлината от лазер $Л$ пада перпендикулярно върху преграда $П$ , в която има два много тесни процепа $O_1$ и $O_2$ , намиращи се на неизвестно разстояние d един от друг. Върху екрана $E$ се наблюдава поредица от светли ивици – интерференчни максимуми. Опитът бил направен с два лазера – единият излъчващ зелена светлина с дължина на вълната $\lambda_1 = 532\ \mathrm{nm}$ , и вторият – излъчващ червена светлина с неизвестна дължина на вълната.

а) Оказало се, че максимумът от 5-ти порядък за зелената светлина се наблюдава на същото място върху екрана, където се наблюдава максимум от 4-ти порядък за червената светлина. Колко е дължината $\lambda_2$ на вълната, излъчвана от втория лазер?

б) За зелената светлина на екрана се виждат общо $N_1 = 37$ максимума, а за червената светлина – $N_2 = 31$ максимума. Въз основа на резултата от този експеримент определете интервала от възможни стойности на разстоянието $d$ между процепите в преградата.

Решение

Част 1

а) При преминаване през тесен отвор звуковата вълна търпи дифракция, т.е. отклонява се от първоначалната си посока на разпространение. Съгласно с принципа на Хюйгенс отворът става източник на сферична вълна, която достига микрофона. (1,0 т)

б) Явлението се дължи на интерференция между вълните 1 и 2, минали съответно през отворите $O_1$ и $O_2$ . Заглушаване на звука се получава, когато в т. B е изпълнено условието за интерференчен минимум:

\Delta r = r_1 - r_2 = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \qquad (1)

(0,5 т)

където $r_1$ и $r_2$ са съответно пътищата, които вълните 1 и 2 изминават от източника $A$ до приемника $B$ , а $\lambda$ е дължината на звуковата вълна. От чертежа се вижда, че:

r_1 = |AO_1| + |O_1B| = 2\sqrt{d^2 + x^2} \qquad (2)

(0,25 т) и

r_2 = |AO_2| + |O_2B| = 2d. \qquad (3)

(0,25 т)

Минималната честота $\nu_{\min}$ , при която настъпва заглушаване на звука, съответства на максималната дължина $\lambda_{\max}$ на вълната, за която е изпълнено условието за минимум:

\nu_{\min} = \frac{u}{\lambda_{\max}}. \qquad (4)

(0,5 т)

От условието (1) се вижда, че максималната дължина на вълната отговаря на $k = 0$ . Така получаваме уравнението:

2\sqrt{d^2 + x^2} - 2d = \frac{u}{2\nu_{\min}}, \qquad (5)

откъдето намираме:

\nu_{\min} = \frac{u}{4\left(\sqrt{d^2 + x^2} - d\right)}. \qquad (6)

(1,0 т)

След заместване с числените стойности, получаваме:

\nu_{\min} = \frac{340\ \mathrm{m/s}}{4\left(\sqrt{(0{,}2\ \mathrm{m})^2 + (0{,}15\ \mathrm{m})^2} - 0{,}2\ \mathrm{m}\right)} = 1700\ \mathrm{Hz}. \qquad (7)

(0,5 т)

Част 2

Лъчите от двата процепа до точка A на екрана.

а) За да се наблюдава максимум в дадена точка $A$ от екрана, трябва да бъде изпълнено условието:

\Delta r = |O_1A| - |O_2A| = k\lambda. \qquad (1)

(0,5 т)

Тогава за зелената светлина имаме:

\Delta r = 5\lambda_1. \qquad (2)

(0,25 т)

а за червената светлина сътветно:

\Delta r = 4\lambda_2. \qquad (3)

(0,25 т)

Като разделим почленно уравненията (2) и (3), получаваме:

5\lambda_1 = 4\lambda_2, \qquad (4)

откъдето:

\lambda_2 = \frac{5}{4}\lambda_1 = 665\ \mathrm{nm}. \qquad (5)

(1,0 т)

б) За триъгълника $O_1O_2A$ е в сила неравенството:

\Delta r = |O_1A| - |O_2A| \le O_1O_2 = d. \qquad (6)

(0,5 т)

Следователно максималният порядък $k_{\max}$ на интерференчните максимуми в опита на Юнг съответсва на цялото число, за което е изпълнено:

k_{\max}\lambda \le d < (k_{\max} + 1)\lambda. \qquad (7)

(0,5 т)

Като вземем предвид, че максимумите с отрицателен порядък са разположени симетрично спрямо нулевия максимум, получаваме, че общият брой максимуми за дадена дължина на вълната е:

N = 2k_{\max} + 1. \qquad (8)

(0,5 т)

Следователно за зелената светлина имаме:

k_{\max 1} = 18, \qquad (9)

(0,25 т) а за червената:

k_{\max 2} = 15. \qquad (10)

(0,25 т)

Тогава от условието (7) за зелената светлина ( $\lambda_1 = 532\ \mathrm{nm}$ ) получаваме:

9576\ \mathrm{nm} \le d < 10108\ \mathrm{nm}, \qquad (11)

(0,25 т) а за червената светлина ( $\lambda_2 = 665\ \mathrm{nm}$ ) съответно:

9975\ \mathrm{nm} \le d < 10640\ \mathrm{nm}. \qquad (12)

(0,25 т)

Следователно интервалът от допустими стойности на d, изразен в по-подходящата единица микрометър, е:

d \in [9{,}975\ \mathrm{\mu m};\ 10{,}108\ \mathrm{\mu m}). \qquad (13)

(0,5 т)

Грешката при определяне на d съответства на половината от широчината на интервала, т.е. $\Delta d = 0{,}067\ \mathrm{\mu m} \approx 0{,}07\ \mathrm{\mu m}$ . Най-правдоподобната стойност отговаря на средата на интервала, т.е. $10042\ \mathrm{nm} \approx 10{,}0\ \mathrm{\mu m}$ . Стойността е закръглена така, че да се записва с три значещи цифри, колкото е точността на данните от условието. Следователно крайният резултат може да се запише:

d = (10{,}0 \pm 0{,}07)\ \mathrm{\mu m}. \qquad (14)

(1,0 т)

Оригинал в Архива: NOF3_2021_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_10solutions.pdf