НОФ 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Бета-разпадане на неутрона

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 9 май 2021 г. · 15 т.

Условие

Когато неутронът е свободен (извън ядро), той е нестабилен. Неговото време на полуразпадане е 611 s, като той се разпада на протон, електрон и антинеутрино: $^{1}_{0}n \to {}^{1}_{1}p + e^{-} + \tilde{\nu}_e$.

Първоначално съществуването на (анти)неутриното не е било известно. В тази задача като единица за енергия да се използва MeV, за импулс – MeV/$c$ ($c$ – скоростта на светлината във вакуум), за скорост – единици $c$, а за маса – MeV/$c^2$

Фундаментални и материални константи и полезни формули :

маса на неутрона $m_n = 939{,}5656$ MeV/c$^2$
маса на протона $m_p = 938{,}2723$ MeV/c$^2$
маса на електрона $m_e = 0{,}510999$ MeV/$c^2$
скорост на светлината $c = 2{,}99792458.10^{8}$ m/s

Формули от релативистката механика:

Ако $m_0$ е масата на покой на едно тяло, $m$ – релативистката му маса, $E_0$ е енергията му на покой, $E$ – пълната му релативистка енергия, $E_{kin}$ е неговата кинетична енергия, $p$ – релативисткия му импулс, а $v$ – скоростта му, то:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\ ; \qquad E_0 = m_0c^2\ ; \qquad p = mv\ ; \qquad E^2 = E_0^{\,2} + p^2c^2\ ; \qquad E_{\mathrm{kin}} = E - E_0$

а) Част А

Нека допуснем, че антинеутрино не съществува и неподвижен неутрон се разпада само на протон и електрон.

Получете формула и изчислете стойността на импулса $p_e$ на електрона, получен при реакцията на разпадане. [3 т.]

б) Получете формула и изчислете стойността на пълната енергия $E_e$ и на кинетичната енергия $E_{kin\,e}$ на електрона, получен при разпадането на неутрона. [2,5 т.]

в) Получете формула и изчислете стойността на скоростта $v_p$ на протона (в единици $c$ и в m/s), получен при разпадането. [2,5 т.]

г) Част Б

Нека сега разгледаме реалната ситуация, когато при разпадането на неподвижен неутрон се получава протон, електрон и антинеутрино (приемете, че масата на покой на неутриното е нула).

Определете възможната минимална кинетична енергия $E_{kin\,e\,min}$ и възможната максимална кинетична енергия $E_{kin\,e\,max}$ на електрона при това разпадане. [1 т.]

д) Разгледайте частния случай 1, когато след разпадане електронът остава неподвижен. Колко е енергията $E_{\nu 1}$ на антинеутриното и колко е скоростта на протона $v_{p1}$ (в единици $c$ и в m/s)? [3 т.]

е) Разгледайте частния случай 2, когато след разпадане протонът остава неподвижен. Колко е енергията $E_{\nu 2}$ на антинеутриното и колко е скоростта на електрона $v_{e2}$ (в единици $c$ и в m/s)? [3 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: NOF3_2021_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_11-12solutions.pdf