Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Бета-разпадане на неутрона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 9 май 2021 г. · 15 т.

Условие

Когато неутронът е свободен (извън ядро), той е нестабилен. Неговото време на полуразпадане е 611 s, като той се разпада на протон, електрон и антинеутрино: $^{1}_{0}n \to {}^{1}_{1}p + e^{-} + \tilde{\nu}_e$ .

Първоначално съществуването на (анти)неутриното не е било известно. В тази задача като единица за енергия да се използва MeV, за импулс – MeV/ $c$ ( $c$ – скоростта на светлината във вакуум), за скорост – единици $c$ , а за маса – MeV/ $c^2$

Фундаментални и материални константи и полезни формули :

маса на неутрона $m_n = 939{,}5656$ MeV/c $^2$
маса на протона $m_p = 938{,}2723$ MeV/c $^2$
маса на електрона $m_e = 0{,}510999$ MeV/ $c^2$
скорост на светлината $c = 2{,}99792458.10^{8}$ m/s

Формули от релативистката механика:

Ако $m_0$ е масата на покой на едно тяло, $m$ – релативистката му маса, $E_0$ е енергията му на покой, $E$ – пълната му релативистка енергия, $E_{kin}$ е неговата кинетична енергия, $p$ – релативисткия му импулс, а $v$ – скоростта му, то:

m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\ ; \qquad E_0 = m_0c^2\ ; \qquad p = mv\ ; \qquad E^2 = E_0^{\,2} + p^2c^2\ ; \qquad E_{\mathrm{kin}} = E - E_0

а) Част А

Нека допуснем, че антинеутрино не съществува и неподвижен неутрон се разпада само на протон и електрон.

Получете формула и изчислете стойността на импулса $p_e$ на електрона, получен при реакцията на разпадане. [3 т.]

б) Получете формула и изчислете стойността на пълната енергия $E_e$ и на кинетичната енергия $E_{kin\,e}$ на електрона, получен при разпадането на неутрона. [2,5 т.]

в) Получете формула и изчислете стойността на скоростта $v_p$ на протона (в единици $c$ и в m/s), получен при разпадането. [2,5 т.]

г) Част Б

Нека сега разгледаме реалната ситуация, когато при разпадането на неподвижен неутрон се получава протон, електрон и антинеутрино (приемете, че масата на покой на неутриното е нула).

Определете възможната минимална кинетична енергия $E_{kin\,e\,min}$ и възможната максимална кинетична енергия $E_{kin\,e\,max}$ на електрона при това разпадане. [1 т.]

д) Разгледайте частния случай 1, когато след разпадане електронът остава неподвижен. Колко е енергията $E_{\nu 1}$ на антинеутриното и колко е скоростта на протона $v_{p1}$ (в единици $c$ и в m/s)? [3 т.]

е) Разгледайте частния случай 2, когато след разпадане протонът остава неподвижен. Колко е енергията $E_{\nu 2}$ на антинеутриното и колко е скоростта на електрона $v_{e2}$ (в единици $c$ и в m/s)? [3 т.]

Отговори

а) $p_e = c\sqrt{\frac{\left(m_n^{\,2}+m_p^{\,2}-m_e^{\,2}\right)^2}{4m_n^{\,2}} - m_p^{\,2}} = 1{,}18725\ \mathrm{MeV/c}$
б) $E_e = \frac{c^2}{2m_n}\left(m_n^{\,2}-m_p^{\,2}+m_e^{\,2}\right) = 1{,}29255\ \mathrm{MeV}$

Кинетичната енергия е $E_{kin\,e} = E_e - E_{e0} = 1{,}29255 - 0{,}510999 = 0{,}781551$ MeV.
в) $\frac{v_p}{c} = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{m_pc}{p_p}\right)^2+1}} = 1{,}26536.10^{-3}\ ; \qquad v_p = 3{,}79344.10^{5}\ \mathrm{m/s}$
г) $E_{kin\,e\,min} = 0$ (електронът остава неподвижен, а протонът и неутриното се движат в противоположни посоки); $E_{kin\,e\,max} = E_{kin\,e} = 0{,}781551$ MeV (неутриното има безкрайно малка енергия и импулс).
д) $E_\nu = \frac{c^2}{2(m_n-m_e)}\left(\left(m_n-m_e\right)^2-m_p^{\,2}\right) = 0{,}781975\ \mathrm{MeV}$

Скоростта на протона: $v_p/c = 8{,}33420.10^{-4}$ , т.е. $v_{p1} = 2{,}49853.10^{5}$ m/s.
е) $E_\nu = \frac{c^2}{2(m_n-m_p)}\left(\left(m_n-m_p\right)^2-m_e^{\,2}\right) = 0{,}545699\ \mathrm{MeV}$

Скоростта на електрона: $v_e/c = 0{,}729933$ , т.е. $v_{e2} = 2{,}18829.10^{8}$ m/s.

Решение

Част А. а) Нека означим с $p_p$ импулса на протона. Тогава от закона за запазване на импулса следва $p_p = p_e$ . (1) [0,3 т.] От закона за запазване на енергията имаме

(2) $\quad m_nc^2 = \sqrt{m_p^{\,2}c^4+p_p^{\,2}c^2} + \sqrt{m_e^{\,2}c^4+p_e^{\,2}c^2}$ [0,7 т.]

Замествайки (1) в (2), $m_nc^2 - \sqrt{m_p^{\,2}c^4+p_e^{\,2}c^2} = \sqrt{m_e^{\,2}c^4+p_e^{\,2}c^2}$ . След повдигане на квадрат имаме

m_n^{\,2}c^4 - 2m_nc^2\sqrt{m_p^{\,2}c^4+p_e^{\,2}c^2} + m_p^{\,2}c^4 + p_e^{\,2}c^2 = m_e^{\,2}c^4 + p_e^{\,2}c^2\ .

[0,5 т.]

Като съкратим на $p_e^{\,2}c^2$ и преобразуваме, намираме

c^4\left(m_n^{\,2}+m_p^{\,2}-m_e^{\,2}\right) = 2m_nc^2\sqrt{m_p^{\,2}c^4+p_e^{\,2}c^2}\ .

[0,5 т.]

След съкращаване на $c^2$ и повдигане на квадрат

c^4\left(m_n^{\,2}+m_p^{\,2}-m_e^{\,2}\right)^2 = 4m_n^{\,2}\left(m_p^{\,2}c^4+p_e^{\,2}c^2\right).

След ново съкращаване на $c^2$ и преобразуване, окончателно намираме

(3) $\quad p_e = c\sqrt{\dfrac{\left(m_n^{\,2}+m_p^{\,2}-m_e^{\,2}\right)^2}{4m_n^{\,2}} - m_p^{\,2}}$ [0,5 т.]

След заместване със зададените стойности получаваме

p_e = 1{,}18725\ \mathrm{MeV/c}.

[0,5 т.]

б) Използвайки (3), пълната енергия на електрона е

E_e^{\,2} = E_{e0}^{\,2} + p_e^{\,2}c^2 = m_e^{\,2}c^4 + c^2\left(\frac{\left(m_n^{\,2}+m_p^{\,2}-m_e^{\,2}\right)^2}{4m_n^{\,2}} - m_p^{\,2}\right)c^2\ .

[0,5 т.]

Като приведем към общ знаменател, намираме

E_e^{\,2} = \frac{c^4}{4m_n^{\,2}}\left(4m_n^{\,2}m_e^{\,2} + \left(m_n^{\,2}+m_p^{\,2}-m_e^{\,2}\right)^2 - 4m_n^{\,2}m_p^{\,2}\right).

След разкриване на скобите, съкращаване и ново групиране на членовете, имаме

E_e^{\,2} = \frac{c^4}{4m_n^{\,2}}\left(m_n^{\,2}-m_p^{\,2}+m_e^{\,2}\right)^2,

откъдето следва

(4) $\quad E_e = \dfrac{c^2}{2m_n}\left(m_n^{\,2}-m_p^{\,2}+m_e^{\,2}\right)$ [1 т.] $= 1{,}29255$ MeV. [0,5 т.]

Кинетичната енергия $E_{kin\,e}$ на електрона, получен при разпадането, е

E_{kin\,e} = E_e - E_{e0} = 1{,}29255\ \mathrm{MeV} – 0.510999\ \mathrm{MeV} = 0{,}781551\ \mathrm{MeV}.

[0,5 т.]

в) Тъй като $p_p = \dfrac{m_pv_p}{\sqrt{1-\left(\frac{v_p}{c}\right)^2}}$ , то след повдигане на квадрат и умножаване по знаменателя, имаме

p_p^{\,2}\left(1-\left(\frac{v_p}{c}\right)^2\right) = m_p^{\,2}v_p^{\,2},

откъдето намираме

v_p^{\,2} = \frac{p_p^{\,2}}{m_p^{\,2}+\frac{p_p^{\,2}}{c^2}}\ ,

[0,5 т.]

(5) $\quad \dfrac{v_p}{c} = \dfrac{1}{\sqrt{\left(\frac{m_pc}{p_p}\right)^2+1}}$ [1 т.] $= 1{,}26536.10^{-3}$ , [0,5 т.]

v_p = 3{,}79344.10^{5}\ \mathrm{m/s}.

[0,5 т.]

Част Б. г) Тъй като след разпадането импулсът и енергията се разпределят между 3 частици (протон, електрон и антинеутрино), кинетичната енергия на електрона $E_{kin\,e}$ може да има всички стойности в някакъв интервал от енергии в зависимост от посоките на импулсите на трите частици. [0,2 т.] Минималната кинетична енергия $E_{kin\,e\,min} = 0$ , защото е възможна ситуация, при която след разпадането електронът остава неподвижен, а протонът и неутриното се движат в противоположни посоки. [0,4 т.] Максималната кинетична енергия е $E_{kin\,e\,max} = E_{kin\,e}$ (получена в подусловие б)), защото е възможна ситуация, в която образувалото се неутрино има безкрайно малка енергия и импулс, при което тази ситуация ще съвпада с тази, описана в Част А. [0,4 т.]

д) В случая 1, когато след разпадането електронът остава неподвижен, законите за запазване на импулса и енергията изглеждат така:

(6) $\quad p_p = p_\nu$ ,

(7) $\quad m_nc^2 = m_ec^2 + \sqrt{m_p^{\,2}c^4+p_p^{\,2}c^2} + p_\nu.c$

Ако сравним (6) и (7) с (1) и (2), се забелязва, че те описват подобни ситуации. Сегашната ситуация преминава в тази от подусловие а), ако се направи формалната замяна $e \to \nu$ и $m_n \to m_n - m_e$ . Следователно можем направо да използваме отговора (4), правейки посочените замени:

E_\nu = \frac{c^2}{2(m_n-m_e)}\left(\left(m_n-m_e\right)^2 - m_p^{\,2}\right)

[1 т.] $= 0{,}781975$ MeV. [0,5 т.]

Скоростта на протона $v_{p1}$ също не е нужно да се получава наново, защото може да се използва отговорът (5):

\frac{v_p}{c} = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{m_pc}{p_p}\right)^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{m_p^{\,2}c^4}{E_\nu^{\,2}}+1}}

[1 т.] $= 8{,}33420.10^{-4}$ [0,3 т.],

v_{p1} = 2{,}49853.10^{5}\ \mathrm{m/s}.

[0,2 т.]

е) В случая 2, когато след разпадането протонът остава неподвижен, законите за запазване на импулса и на енергията изглеждат така

(8) $\quad p_e = p_\nu$ ,

(9) $\quad m_nc^2 = m_pc^2 + \sqrt{m_e^{\,2}c^4+p_e^{\,2}c^2} + p_\nu.c$

Ако сравним (8) и (9) с (1) и (2), се вижда, че те описват подобни ситуации. Сегашната ситуация преминава в тази от подусловие а), ако се направи формалната замяна $e \to \nu$ , $p \to e$ и $m_n \to m_n - m_p$ . Следователно можем направо да използваме отговора (4), правейки посочените замени:

E_\nu = \frac{c^2}{2(m_n-m_p)}\left(\left(m_n-m_p\right)^2 - m_e^{\,2}\right)

[1 т.] $= 0{,}545699$ MeV. [0,5 т.]

Скоростта на електрона $v_{e2}$ също не е нужно да се извежда отново, защото може да се използва отговор (5):

\frac{v_e}{c} = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{m_ec}{p_e}\right)^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{m_e^{\,2}c^4}{E_\nu^{\,2}}+1}}

[1 т.] $= 0{,}729933$ [0,3 т.], $v_{e2} = 2{,}18829.10^{8}$ m/s. [0,2 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2021_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_11-12solutions.pdf