Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Квантови свойства на светлината

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 9 май 2021 г. · 15 т.

Условие

Част А. Топлинно лъчение

На фиг. 4 е показана графиката на функцията $\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)$ , която показва частта от пълната енергия на топлинното лъчение, излъчена в спектралния интервал от 0 до $\mathrm{x}$ . Тук $\mathrm{x} = \lambda/\lambda_{\max}$ , където $\lambda_{\max}$ е дължината на вълната, съответстваща на максимума на излъчената енергия. По графиката определете:

А. а) дължината на вълната $\lambda_0$ , която разделя при температура $\mathrm{T}_0 = 3700\ \mathrm{K}$ излъчената енергия на две равни части. [1 т.]

А. б) частта от пълната излъчена енергия при температура $T = 5000\ \mathrm{K}$ , която съответства на видимата област от $400\ \mathrm{nm}$ до $700\ \mathrm{nm}$ .

При извършване на пресмятанията приемете константата на Вин $\mathrm{b} \approx 2{,}90.10^{-3}\ \mathrm{m.K}$ . [2,25 т.]

А. в) Колко пъти излъчената енергия при температура $\mathrm{T} = 5000\ \mathrm{K}$ с дължина на вълната $\lambda \geq 700\ \mathrm{nm}$ е по-голяма от тази, излъчена при $\mathrm{T}_0 = 3700\ \mathrm{K}$ . [1,75 т.]

Растяща S-образна крива върху фина квадратна мрежа; вертикалната ос y е разграфена от 0 до 0,8 през 0,1, хоризонталната ос x — от 0 до над 2,2 през 0,2. Кривата тръгва почти нула до x около 0,4, расте най-стръмно около x = 1,0–1,4 и достига около 0,8 при x = 2,3. — Фиг. 4 — графика на $y(x)$ : частта от пълната излъчена енергия в интервала от 0 до $x = \lambda/\lambda_{\max}$ .

Б. а) Част Б. Налягане на светлината

Върху плоска повърхност на стъклена пластина с показател на пречупване $\mathrm{n} = 1{,}5$ от вакуум пада, перпендикулярно на повърхността, монохроматичен светлинен сноп с интензитет $\mathrm{J} = 100\ \mathrm{kW/m^2}$ . Скоростта на светлината във вакуум е $\mathrm{c} = 3{,}0.10^{8}\ \mathrm{m/s}$ .

Като използвате сведения за единиците на физичните величини, запишете най-общ израз за налягането $\mathrm{P}$ върху стъклената повърхност. [3 т.]

Б. б) При достигане на стъклената повърхност падащият светлинен сноп се трансформира в отразен сноп и в преминал сноп (стъклото е прозрачна среда, в която поглъщането на лъчение се пренебрегва). Като използвате квантовите представи за светлината, т. е. светлинният сноп е съвкупност от фотони с определена енергия и импулс, определете силата $\mathrm{f}$ (по посока и големина), която действа на единица площ от разделителната стъклена повърхност. За целта намерете изменението на общия импулс на светлинния сноп след взаимодействието му със стъклената повърхност, като отчетете, че коефициентът на отражение от нея е

\mathrm{R} = \left(\frac{\mathrm{n}-1}{\mathrm{n}+1}\right)^{2},

т. е. с вероятност $\mathrm{R}$ фотон се отразява от стъклената разделителна повърхност. [7 т.]

Отговори

Решение

Част А. а) От графиката на функцията $\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)$ намираме

\mathrm{y} = \frac{1}{2}\ \text{при}\ \mathrm{x}_0 \approx 1{,}41\ .

[0,5 т.]

От закона на Вин следва $\lambda_{\max} = \dfrac{\mathrm{b}}{\mathrm{T}_0}$ , при което получаваме

\lambda = \lambda_{\max}\mathrm{x}_0 = \mathrm{x}_0\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{T}_0} \approx 1{,}11\ \mu\mathrm{m}\ .

[0,5 т.]

б) При $\mathrm{T} = 5000\ \mathrm{K}$ имаме

\lambda_{\max} = \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{T}} \approx 0{,}58\ \mu\mathrm{m}\ ,

[0,25 т.]

откъдето следва

\mathrm{x}_1 = \frac{\lambda_1}{\lambda_{\max}} = \frac{0{,}40}{0{,}58} \approx 0{,}69\ \textbf{[0,5 т.]} \qquad \mathrm{x}_2 = \frac{\lambda_2}{\lambda_{\max}} = \frac{0{,}70}{0{,}58} \approx 1{,}21\ .\ \textbf{[0,5 т.]}

Така по графиката намираме

\mathrm{y}(\mathrm{x}_1) \approx 0{,}07\ , \qquad \mathrm{y}(\mathrm{x}_2) \approx 0{,}38\ ,

[0,5 т.]

при което се получава

\Delta \mathrm{y} = \mathrm{y}(\mathrm{x}_2)-\mathrm{y}(\mathrm{x}_1) \approx 0{,}38-0{,}07 \approx 0{,}31\ ,

[0,5 т.]

т. е. това е частта от пълната излъчена енергия във видимата част на спектъра.

в) При $\mathrm{T}_0$ имаме $\lambda'_{\max} = \dfrac{\mathrm{b}}{\mathrm{T}_0} \approx 0{,}784\ \mu\mathrm{m}$ [0,25 т.], при което намираме

\mathrm{x}' = \frac{0{,}700}{0{,}784} \approx 0{,}893\ , \qquad \mathrm{y}(\mathrm{x}') \approx 0{,}18\ .

[0,5 т.]

Като използваме закона на Стефан–Болцман получаваме

\frac{\mathrm{P}''}{\mathrm{P}'} = \left(\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}_0}\right)^{4}\frac{1-\mathrm{y}(\mathrm{x}_2)}{1-\mathrm{y}(\mathrm{x}')} = \left(\frac{5}{3{,}7}\right)^{4}\frac{1-0{,}38}{1-0{,}18} \approx 2{,}5\ .

[1 т.]

Част Б. а) Ще преобразуваме мерната единица на интензитета на светлината. Така имаме

[\mathrm{J}] = \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s.m}^2} = \frac{\mathrm{N.m}}{\mathrm{s.m}^2} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\times\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = [\mathrm{P}]\times[\mathrm{u}]\ ,

[1 т.]

където $[\mathrm{P}]$ е единицата за налягане, а $[\mathrm{u}]$ – единицата за скорост. Следователно можем да запишем

[\mathrm{P}] = \frac{[\mathrm{J}]}{[\mathrm{u}]}\ .

[0,5 т.]

В задачата скоростта на снопа е $\mathrm{u} = \mathrm{c}$ във вакуум [0,25 т.] и $\mathrm{u} = \mathrm{c}/\mathrm{n} \sim \mathrm{c}$ [0,25 т.] в стъклото. По този начин стигаме до израз за налягането

\mathrm{P} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{c}}\,\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\ ,

[1 т.]

където $\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)$ е число, зависещо от показателя на пречупване.

б) Нека приемем, че снопът се състои от фотони с енергия $\varepsilon = \mathrm{h}\nu$ [0,5 т.]. Тогава като въведем броя фотони $\mathrm{N}$ , които попадат върху единица площ за единица време, имаме

\mathrm{J} = \mathrm{Nh}\nu\ ,

[0,5 т.]

Тъй като от една страна е изпълнено равенството $\nu = \mathrm{c}/\lambda$ [0,5 т.], а импулсът $\mathrm{p}$ на фотона е $\mathrm{p} = \mathrm{h}/\lambda$ [0,5 т.], за импулса на снопа намираме израза

\mathrm{Np} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{c}}\ .

[0,5 т.]

Този сноп като достигне повърхността на пластината се разделя на две части: едната образува отразен сноп, който отнася импулс

\mathrm{N}_1\mathrm{p} = \mathrm{RNp} = \mathrm{R}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{c}}\ ,

[0,5 т.]

а втората образува преминал сноп, който отнася импулс

\mathrm{N}_2\mathrm{p}_2 = \mathrm{N}_2\frac{\mathrm{h}}{\lambda_2} = \mathrm{N}_2\mathrm{np} = (1-\mathrm{R})\mathrm{nNp} = (1-\mathrm{R})\mathrm{n}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{c}}\ .

[1 т.]

Във векторен вид съответните импулси са

\mathrm{p}_0 = \mathrm{Np}\ , \quad \mathrm{p}_1 = -\mathrm{RNp} = -\mathrm{Rp}_0\ , \quad \mathrm{p}_2 = (1-\mathrm{R})\mathrm{nNp} = (1-\mathrm{R})\mathrm{np}_0\ .

[0,75 т.]

При отсъствие на поглъщане изменението на импулса на снопа след взаимодействието със стъклената пластина е

\Delta \mathrm{p} = \mathrm{p}_1 + \mathrm{p}_2 - \mathrm{p}_0 = \mathrm{p}_0\left[(\mathrm{n}-1)-(\mathrm{n}+1)\mathrm{R}\right],

[0,75 т.]

т. е. имаме

\Delta \mathrm{p} = \mathrm{p}_0\frac{2(\mathrm{n}-1)}{(\mathrm{n}+1)} = \mathrm{f}'\ .

[0,5 т.]

По третия закон на Нютон търсената сила е $\mathrm{f} = -\mathrm{f}'$ . Следователно намираме за големината на силата

\mathrm{f} = \left|\Delta \mathrm{p}\right| = \frac{2(\mathrm{n}-1)}{\mathrm{n}+1}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{c}} \approx 133\ \mu\mathrm{Pa}\ ,

[0,5 т.]

а посоката на силата $\mathrm{f}$ е противоположна на вектора $\mathrm{p}_0$ , т. е. противоположна на посоката на падащия светлинен сноп. [0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2021_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_11-12solutions.pdf