Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Верига с кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, V състезателна група (11. – 12. клас) · 9 май 2021 г. · 15 т.

Условие

Четири кондензатора, номерирани от 1 до 4, са свързани към източник с ЕДН $\mathcal{E}$ , както е показано на фиг. 3, а. Капацитетите на кондензаторите са означени на схемата.

Две електрически схеми една до друга. Схема а: горен клон с кондензатори C (номер 1) и 2C (номер 2), долен клон с 2C (номер 3) и C (номер 4), захранвани от източник ЕДН. Схема б: същата верига, но между средната точка A на горния клон и средната точка B на долния клон е свързан правоъгълен резистор. — Фиг. 3 — схема а (четирите кондензатора $C$ , $2C$ , $2C$ , $C$ и източникът $\mathcal{E}$ ) и схема б (същата верига с резистор, свързан между точките $A$ и $B$ ).

а) Определете заряда върху всеки от кондензаторите. [4 т.]

б) Между точките A и B от схемата е свързан резистор с неизвестно съпротивление, както е показано на фиг. 3, б. Определете заряда $\mathrm{q_R}$ , който преминава през резистора, докато във веригата отново се установи равновесие. В каква посока се пренася зарядът през резистора – от A към B или от B към A? [6 т.]

в) Определете количеството топлина Q, което се отделя в резистора, докато през него протича заряд. Съпротивлението на съединителните проводници във веригата и вътрешното съпротивление на източника се пренебрегват. [5 т.]

Отговори

Решение

Задачата може да бъде решена изцяло с материал от задължителната подготовка от 9. и 10. клас, но може да се използват и формулите за еквивалентен капацитет и за енергия на зареден кондензатор.

а) Поради симетрията на веригата е ясно, че:

q_1 = q_4 \quad \text{и} \quad q_2 = q_3

[1 т.]

Тъй като кондензаторите 1 и 2 (3 и 4) са свързани последователно към източника, следва, че върху тях има равни заряди (какъвто заряд се втича върху положителната плоча на 1, такъв заряд изтича от отрицателната плоча на 2). Следователно:

q_1 = q_2 \quad \text{и} \quad q_3 = q_4

[1 т.]

Така получаваме, че върху четирите кондензатора има еднакъв заряд $q_0$ . Сумата от напреженията върху последователно свързани елементи във веригата е равна на напрежението на източника:

\frac{q_0}{C} + \frac{q_0}{2C} = \mathcal{E},

[1 т.]

откъдето намираме заряда върху кондензаторите:

q_0 = \frac{2}{3}C\mathcal{E}.

[1 т.]

б) Преразпределянето на зарядите между кондензаторите продължава, докато напрежението върху резистора стане равно на нула. [1 т.]

От симетрията на получената верига следва, че напреженията върху четирите кондензатора стават равни на $U = \mathcal{E}/2$ . Следователно новите заряди върху кондензаторите са, както следва:

q_1 = q_4 = CU = \frac{C\mathcal{E}}{2}

[1 т.]

q_2 = q_3 = 2C \times U = C\mathcal{E}

[1 т.]

Оттук следва, че след свързването на резистора, от т. A към отрицателната плоча на кондензатора 1 протича заряд $q_0 - q_1 = C\mathcal{E}/6$ (1 т.), а към положителната плоча ва кондензатора 2 – заряд $q_2 - q_0 = C\mathcal{E}/3$ (1 т.). От закона за запазване на заряда следва, че през резистора от т. B към т. A се пренася заряд:

q_R = \frac{1}{6}C\mathcal{E} + \frac{1}{3}C\mathcal{E} = \frac{1}{2}C\mathcal{E}.

[1 т.]

в) Преди да бъде свързан резисторът, напреженията върху кондензаторите 1 и 3 са съответно:

U_1 = \frac{q_0}{C} = \frac{2}{3}\mathcal{E};

[1 т.]

U_3 = \frac{q_0}{2C} = \frac{1}{3}\mathcal{E},

[1 т.]

а напрежението между A и B:

U_{AB} = U_1 - U_2 = \frac{1}{3}\mathcal{E}.

[1 т.]

Следователно напрежението върху резистора се променя от $\mathrm{U_{AB}}$ в началото до 0, след като във веригата се установи равновесие. Това означава, че зарядът през резистора се пренася при средно напрежение:

U_{\mathrm{cp}} = \frac{U_{AB}+0}{2} = \frac{1}{6}\mathcal{E}.

[1 т.]

Отделеното в резистора количество топлина е равно на работата на електричните сили при пренасяне на заряда през резистора:

Q = q_R U_{\mathrm{cp}} = \frac{1}{12}C\mathcal{E}^2.

[1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2021_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_11-12solutions.pdf