Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Кинематика и динамика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, тема за 8. клас (втора състезателна група) · 9 май 2021 г. · 10 т.

Условие

Част А. В момента, в който закъснял пътник за влак в метрото излиза на перона, покрай него за време $t_1 = 3\ \mathrm{s}$ преминава предпоследният вагон. След това последният вагон преминава покрай пътника за време $t_2 = 2\ \mathrm{s}$ . Влакът се движи равноускорително. Вагоните са с еднаква дължина.

Част А. С какво време $\tau$ е закъснял пътникът за тръгването на влака? [4 т.]

Част Б. Еднородно тежко въже, окачено за единия си край, не се къса под влияние на собствената си тежест, ако дължината на въжето не превишава $l_0$ . Да разгледаме такова въже с маса $m$ и дължина $l$ , едната част на което е върху хоризонтална повърхност, а другата виси вертикално. Под действие на силата на тежестта въжето се хлъзга по хоризонталната повърхност и се спуска надолу. Триенето между въжето и хоризонталната повърхност се пренебрегва. Земното ускорение е $g$ .

Част Б. а) Намерете силата на опън $T(x)$ , с която вертикалната част на въжето дърпа хоризонталната, когато дължината на хоризонталната част е $x$ . За тази цел заменете въжето със система от две тела съответно с маси $m_1$ и $m_2$ , свързани с неразтеглива нишка с пренебрежима маса. Силата, с която нишката дърпа всяко едно от телата, е $T(x)$ . [3 т.]

Трупче m1 на хоризонтална повърхност, свързано с нишка през макара на ръба с висящо трупче m2. — Фиг. 1. Заместващата система: трупче с маса $m_1$ върху хоризонталната повърхност, свързано през макара с висящо трупче с маса $m_2$ .

Част Б. б) Определете при каква стойност на $x$ силата $T(x)$ има максимална стойност и на колко е равна силата $T_{\max}$ . [1,5 т.]

Част Б. в) Намерете максималната дължина $l_{\max}$ на въжето, при която хлъзгащото се въже няма да се скъса. [1,5 т.]

Отговори

Решение

Част А. Ще приемем, че влакът се движи с постоянно ускорение $a$ . Тогава дължината на предпоследния вагон се дава с израза

l = \frac{a(\tau+t_1)^2}{2} - \frac{a\tau^2}{2} = \frac{a}{2}(t_1^2 + 2t_1\tau).

[1 т.]

Последният вагон се движи равноускорително с начална скорост $\upsilon_0 = a(\tau+t_1)$ . [0,5 т.] В този случай дължината на вагона може да се запише във вида

l = \upsilon_0 t_2 + \frac{a t_2^2}{2} = \frac{a}{2}(t_2^2 + 2t_1t_2 + 2t_2\tau).

[1 т.]

Тъй като в горните изрази левите страни са равни, от приравняването на десните страни имаме

t_1^2 + 2t_1\tau = t_2^2 + 2t_1t_2 + 2t_2\tau,

[0,5 т.]

откъдето намираме

\tau = \frac{t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2}{2(t_1-t_2)} = \frac{(t_1+t_2)^2 - 2t_1^2}{2(t_1-t_2)} = 3{,}5\ \mathrm{s}.

[1 т.]

Част Б. а) Хоризонталната част на въжето има маса $m_1 = m(x/l)$ [0,5 т.], а вертикалната – маса $m_2 = m(1 - x/l)$ [0,5 т.]. Тогава уравненията на движение са

m_1a = T(x), \qquad m_2a = m_2g - T(x).

[1 т.]

Като умножим първото уравнение с $m_2$ , а второто с $m_1$ и ги извадим почленно, намираме

T(x) = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}g = mg\left(\frac{x}{l}\right)\left(1-\frac{x}{l}\right).

[1 т.]

б) Стойността на $T(x)$ зависи от стойността на израза $z - z^2$ , където сме означили $z = x/l$ . Като отделим пълен квадрат, можем да препишем израза във вида

z - z^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right)z + z^2\right] = \frac{1}{4} - \left(z - \frac{1}{2}\right)^2,

[1 т.]

откъдето намираме

T_{\max} = T(z = 1/2) = \frac{mg}{4}.

[0,5 т.]

в) За да не се скъса въжето, трябва да е изпълнено условието

T \le T_0 = mg\frac{l_0}{l}.

[0,5 т.]

Като положим $T = T_{\max}$ имаме неравенството

\frac{mg}{4} \le mg\frac{l_0}{l},

[0,5 т.]

откъдето следва

l_{\max} = 4l_0.

[0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2021_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_8solutions.pdf