Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Преобразуване на енергията

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, тема за 8. клас (втора състезателна група) · 9 май 2021 г. · 10 т.

Условие

В цилиндър с площ на основата $S$ , частично запълнен с вода, пада без начална скорост цилиндрична коркова тапа с площ на основата $s$ и височина $h$ (фиг. ). След известно време движението на тапата и водата се прекратява. Началната височина на долната основа на тапата над нивото на водата е $H$ , плътността на корка е $\rho$ , а на водата – $\rho_0$ .

Намерете разликата между енергиите $E_1 - E_2$ на системата коркова тапа + вода, където $E_1$ е енергията на системата преди падане на тапата, а $E_2$ – енергията на системата при неподвижна плаваща тапа. Коментирайте получения резултат

Упътване. Потенциалната енергия на тяло с крайни размери и маса $m$ е равна на потенциалната енергия на точкова маса $m$ , разположена в центъра на тежестта на тялото. Земното ускорение е $g$ . Изберете за нулево ниво по енергията долната основа на плаващата тапа.

Правоъгълна коркова тапа с плътност ро и височина h, на височина H над водната повърхност в цилиндър с вода с плътност ро нула. — Фиг. 2. Коркова тапа с височина $h$ и плътност $\rho$ на височина $H$ над нивото на водата с плътност $\rho_0$ в цилиндричния съд.

Отговори

Решение

Ще означим първоначалната височина на течността над долната основа на плаващата тапа с $h_1$ , а крайната височина на течността спрямо долната основа на плаващата тапа с $h_2$ (фиг. 1) [0,5 т.]. Като изберем за нулево ниво положението на долната основа, когато тапата плава в течността, началната потенциална енергия на тапата е

Чертеж на тапата преди падането и на плаващата тапа в течността с означени височини h, H, h1 и h2. — Фиг. 1 (решение). Началното положение на тапата на височина $H$ и крайното ѝ положение, когато плава: $h_1$ е първоначалната височина на течността над долната основа на плаващата тапа, $h_2$ — крайната.

E_{1,\text{тапа}} = mg\left(\frac{h}{2} + H + h_1\right),

[1 т.]

а на течността –

E_{1,\text{течност}} = E_0 + m_0g\frac{h_1}{2},

[1 т.]

където $E_0$ е потенциалната енергия на част от течността, която не променя положението си при падане на тапата, а $m_0$ е масата на течността, която се намира над отчетното ниво. Следователно общата начална енергия на системата е

E_1 = E_{1,\text{тапа}} + E_{1,\text{течност}} = mg\left(\frac{h}{2} + H + h_1\right) + E_0 + m_0g\frac{h_1}{2}.

[0,5 т.]

След като тапата падне в течността и спре да се движи, потенциалната ѝ енергия е

E_{2,\text{тапа}} = mg\frac{h}{2},

[1 т.]

а потенциалната енергия на течността включва две съставящи – едната $E_0$ на течността под дъното на плаващата тапа, а другата над това ниво. Тази част с маса $m_0$ заема слой с височина $h_2$ . Следователно имаме

E_{2,\text{течност}} = E_0 + m_0g\frac{h_2}{2}.

[1 т.]

Тогава намираме

E_2 = E_{2,\text{тапа}} + E_{2,\text{течност}} = mg\frac{h}{2} + E_0 + m_0g\frac{h_2}{2}.

[0,5 т.]

Следователно имаме

E_1 - E_2 = mg(H + h_1) - m_0g\frac{h_2 - h_1}{2}.

[1 т.]

Тъй като $m = \rho sh$ [0,5 т.], $m_0 = \rho_0Sh_1 = \rho_0(S-s)h_2$ [0,5 т.], а така също от условието за плаване на тапата $\rho h = \rho_0h_2$ [0,5 т.], определяме

h_1 = \frac{\rho}{\rho_0}\left(1 - \frac{s}{S}\right)h, \qquad h_2 = \frac{\rho}{\rho_0}h.

[0,5 т.]

След като заместим, намираме

E_1 - E_2 = \rho gsh\left[H + \frac{\rho}{2\rho_0}\left(1 - \frac{s}{S}\right)h\right].

[1 т.]

Тъй като $E_1 - E_2 > 0$ , част от началната механична енергия се е трансформирала в друг вид енергия. [0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2021_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_8solutions.pdf