НОФ 2021, III кръг (национален), 9. клас — Задача 2. Хидростатика

• $\rho_\mathrm{c} = \frac{2\rho_\mathrm{w}\rho_\mathrm{o}(a-h)}{a(\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w})} \approx 0{,}57\ \mathrm{g/cm^3};\quad h_\mathrm{o} = \frac{2h\rho_\mathrm{w}-a(\rho_\mathrm{w}-\rho_\mathrm{o})}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}} \approx 1{,}8\ \mathrm{cm};\quad h_\mathrm{w} = \frac{2h\rho_\mathrm{o}+a(\rho_\mathrm{w}-\rho_\mathrm{o})}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}} \approx 2{,}2\ \mathrm{cm};\quad V_\mathrm{o} = \frac{\rho_\mathrm{w}(a-h)(S-a^2)}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}} \approx 120\ \mathrm{cm^3}$

  Допустими отклонения: $\rho_\mathrm{c}$ ±0,01 g/cm³, $h_\mathrm{o}$ и $h_\mathrm{w}$ ±0,1 cm, $V_\mathrm{o}$ ±3 cm³. Задачата е отпечатана без обозначени подусловия — четирите въпроса са зададени в един абзац срещу общо 10 т.

Когато кубчето плава само в олио, от закона на Архимед следва, че $\rho_\mathrm{c}a = \rho_\mathrm{o}(a - h_\mathrm{o})$. [1 т.] От условието за плаване само във вода имаме, че $\rho_\mathrm{c}a = \rho_\mathrm{w}(a - h_\mathrm{w})$. [1 т.] След изливането на олио върху водата се получава, че $\rho_\mathrm{c}a = \rho_\mathrm{o}d_\mathrm{o} + \rho_\mathrm{w}d_\mathrm{w}$, където с $d_\mathrm{o}$ сме означили дебелината на слоя олио, а с $d_\mathrm{w}$ – дълбочината на потапяне на кубчето във водата под олиото. [1 т.] От условието, че дълбочината на потапяне на кубчето във водата намалява наполовина след наливането на олиото, следва съотношението $d_\mathrm{w} = \frac{a-h_\mathrm{w}}{2}$, т.е. $a - h_\mathrm{w} = 2d_\mathrm{w}$. [0,5 т.] Може да се съобрази също така, че $d_\mathrm{w} + d_\mathrm{o} + h = a$. [0,5 т.]

От горните уравнения следва, че $d_\mathrm{o} = \frac{\rho_\mathrm{w}d_\mathrm{w}}{\rho_\mathrm{o}}$ [0,5 т.], откъдето $d_\mathrm{w} = \frac{\rho_\mathrm{o}(a-h)}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}}$ [0,5 т.]. Плътността на кубчето е $\rho_\mathrm{c} = \frac{2\rho_\mathrm{w}d_\mathrm{w}}{a} = \frac{2\rho_\mathrm{w}\rho_\mathrm{o}(a-h)}{a(\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w})} \approx 0{,}57\ \mathrm{g/cm^3}$. [1 т.]

От първото уравнение по-горе се вижда, че $\rho_\mathrm{o}(a - h_\mathrm{o}) = 2\rho_\mathrm{w}d_\mathrm{w} = \frac{2\rho_\mathrm{w}\rho_\mathrm{o}(a-h)}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}}$ [0,5 т.], откъдето $h_\mathrm{o} = a - \frac{2\rho_\mathrm{w}(a-h)}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}} = \frac{2h\rho_\mathrm{w}-a(\rho_\mathrm{w}-\rho_\mathrm{o})}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}} \approx 1{,}8\ \mathrm{cm}$ [1 т.]. От друга страна $h_\mathrm{w} = a - 2d_\mathrm{w} = \frac{2h\rho_\mathrm{o}+a(\rho_\mathrm{w}-\rho_\mathrm{o})}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}} \approx 2{,}2\ \mathrm{cm}$. [1 т.] Обемът на налятото олио е $V_\mathrm{o} = d_\mathrm{o}(S - a^2) = \frac{\rho_\mathrm{w}(a-h)(S-a^2)}{\rho_\mathrm{o}+\rho_\mathrm{w}} \approx 120\ \mathrm{cm^3}$. [1,5 т.]