Съдържание

НОФ 2021, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Трупчета и макари

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2021

Национална олимпиада по физика 2021, национален кръг, тема за III състезателна група (учебно съдържание за 9. клас) · 9 май 2021 г. · 10 т.

Условие

Схема: трупче m1 върху хоризонтална маса, свързано с нишка през неподвижна макара към подвижна макара, под която висят последователно трупчетата m2 и m3. — Трупчето с маса $m_1$ върху хоризонталната повърхност с коефициент на триене $k$ , неподвижната макара и подвижната макара, от която висят трупчетата с маси $m_2$ и $m_3$ .

Три трупчета с неизвестни маси $m_1$ , $m_2$ и $m_3$ , са свързани с безмасови неразтегливи нишки за две еднакви безмасови макари, както е показано на фигурата вляво. Трупчето с маса $m_1$ се намира върху хоризонтална повърхност, като коефициентът на триене между трупчето и повърхността е $k = 0{,}2$ . Останалите две трупчета (с маси $m_2$ и $m_3$ ) висят свободно от подвижната макара. Първоначално системата се движи равноускорително без начална скорост. В един момент нишката между двете трупчета с маси $m_2$ и $m_3$ е прерязана, след което системата започва да се движи равномерно, а силата на опън на другата нишка намалява наполовина спрямо предишната си стойност. Може да използвате, че земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Определете отношението на масите $m_2/m_1$ . [3 т.]

б) На колко са равни големините на ускоренията $a_1$ и $a_2$ , с които първоначално се движат трупчетата с маси $m_1$ и $m_2$ ? [3 т.]

в) Определете отношението на масите $m_3/m_1$ . [2 т.]

г) Ако от началото на движението на системата до момента на прерязването на нишката лявото трупче е изминало разстояние $d = 0{,}4\ \mathrm{m}$ , намерете сумарната кинетична енергия $E_\mathrm{к}$ на трупчетата в момента на прерязването на нишката. Приемете, че масата на лявото трупче е $m_1 = 0{,}3\ \mathrm{kg}$ . [2 т.]

Отговори

Решение

Същата схема с макарите, върху която са нанесени векторите на силите R, G1, T1, f, T2, G2 и G3. — Силите, действащи на трите трупчета: $R$ , $G_1$ , $T_1$ и $f$ за лявото трупче; $T_2$ , $G_2$ и $G_3$ за десните трупчета.

а) Първоначално на трупчето с маса $m_1$ действа силата на тежестта $G_1 = m_1g$ надолу, реакцията на опората $R = G_1$ нагоре, силата на опън $T_1$ надясно и силата на триене $f = kR = km_1g$ наляво. [0,5 т.] На трупчетата с маси $m_2$ и $m_3$ действат сили на тежестта $G_2 = m_2g$ и $G_3 = m_3g$ , но силата на опън от страна на подвижната макара е $T_2 = 2T_1$ (поради факта, че макарите са безмасови). [0,5 т.] След срязването на нишката трупчето с маса $m_3$ вече не е част от системата и останалите две трупчета се движат равномерно, т.е. без ускорение. Новите сили на опън ще означим с $T_1'$ и $T_2' = 2T_1'$ . Като приложим II принцип на Нютон след прерязването на нишката, ще получим: $T_1' - km_1g = 0$ [0,5 т.] (за трупчето с маса $m_1$ ) и $m_2g - T_2' = m_2g - 2T_1' = 0$ [0,5 т.] (за трупчето с маса $m_2$ ). От двете уравнения следва, че $\frac{m_2}{m_1} = 2k = 0{,}4$ . [1 т.]

б) По условие $T_1' = \frac{T_1}{2}$ , откъдето $T_1 = 2T_1' = 2km_1g$ . [0,5 т.] От II принцип на Нютон за движението на лявото трупче преди срязването на нишката се получава, че $m_1a_1 = T_1 - km_1g$ [0,5 т.], откъдето $a_1 = kg \approx 2\ \mathrm{m/s^2}$ [1 т.]. Може да се съобрази, че $a_1 = 2a_2$ , тъй като трупчето с маса $m_1$ изминава двойно по-голям път от трупчето с маса $m_2$ , а пътят е пропорционален на ускорението при движение без начална скорост. [0,5 т.] Оттук следва, че $a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{kg}{2} \approx 1\ \mathrm{m/s^2}$ . [0,5 т.]

в) От II принцип на Нютон за движението на десните трупчета преди срязването на нишката се получава: $(m_2 + m_3)a_2 = (m_2 + m_3)g - T_2$ . [0,5 т.] Като използваме, че $m_2 = 2km_1$ , $a_2 = \frac{kg}{2}$ и $T_2 = 2T_1 = 4km_1g$ , ще получим след опростяване, че $\frac{m_3}{m_1} = \frac{2k(k+2)}{2-k} = \frac{22}{45} \approx 0{,}5$ . [1,5 т.]

г) Скоростта на лявото трупче в момента на прерязването на нишката е $v_1 = \sqrt{2a_1d} = \sqrt{2kgd}$ , а скоростта на десните трупчета е $v_2 = v_1/2 = \sqrt{kgd/2}$ . [1 т.] Сумарната кинетична енергия на системата в момента на прерязването е $E_\mathrm{к} = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{(m_2+m_3)v_2^2}{2} = \frac{k(2+k)gdm_1}{2-k} \approx 0{,}3\ \mathrm{J}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2021_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2021_9solutions.pdf