Съдържание

Условие Отговори Решение

НОФ 2022, II кръг (областен), 12. клас — Задача 2. Процеси с идеален газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Олимпиада по физика 2022, областен кръг, тема за VI състезателна група (12. клас) · 19 февруари 2022 г. · 10 т.

Условие

Задачата се състои от две независими части. И в двете части можете да използвате следните константи:

универсална газова константа $R = 8{,}31\ \mathrm{J/K.mol}$ ;

число на Авогадро $N_A = 6{,}02.10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ;

константа на Болцман $k_B = 1{,}38.10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ ;

моларна маса на въздуха $\mu = 29\ \mathrm{g/mol}$ .

Част А, а) Част А. Стандартна лаборатория за провеждане на практически занятия във Физическия факултет има обем $V = 120\ \mathrm{m^3}$ . Атмосферното налягане на въздуха е $P = 1{,}0.10^5\ \mathrm{Pa}$ , а темературата на въздуха е $t_1 = 27\ \mathrm{^\circ C}$ . Поради застудяване температурата на въздуха в лабораторията се понижава с $\Delta t = 10\ \mathrm{^\circ C}$ , без атмосферното налягане да се променя. Определете:

с колко се е променила масата $\Delta m$ на въздуха в помещението и в каква посока [4 т.]

Част А, б) как се е изменила вътрешната енергия $U$ на въздуха в стаята при описания процес.

Приемете, че поради открехнат прозорец, налягането на въздуха в стаята е равно на външното атмосферно налягане. [2 т.]

Част Б, а) Част Б. В изкуствен спътник на Земята с обем $V = 1\ \mathrm{m^3}$ се намира въздух при нормално атмосферно налягане $P = 1{,}0.10^5\ \mathrm{Pa}$ и температура $t = 0\ \mathrm{^\circ C}$ . Поради удар с микрометеорит, в обвивката на спътника се образува малък отвор, през който въздухът започва да изтича в открития космос. Докато въздухът изтича, температурата в спътнвика не се променя.

Колко молекули $\Delta N$ ще напуснат спътника, докато налягането на въздуха в него намалее с $\Delta p = 20\%$ от началното налягане? [2,5 т.]

Част Б, б) Въпреки че налягането на въздуха в спътника намалява, се оказва, че въздухът изтича през отвора с постоянна скорост през цялото време. Обяснете качествено защо и пресметнете приблизително големината на тази сккорост. [1,5 т.]

Отговори

Решение

Част А. а) Разглеждаме въздуха в стаята като идеален газ. При понижаване на температурата от $T_1$ до $T_2 = T_1 - \Delta T$ масата на газа в стаята се променя с $\Delta m = m_2 - m_1$ [0,5 т.], тъй като налягането $P$ е постоянно и равно на атмосферното, както и обемът $V$ на въздуха в стаята [0,5 т.]. Като запишем уравнението на Клапейрон-Меделеев за началното и крайното състояние на въздуха, имаме:

(1)\qquad PV = \frac{m_1}{\mu}RT_1, \qquad PV = \frac{m_2}{\mu}RT_2,

[1 т.]

и съответно получаваме:

\Delta m = \frac{\mu PV}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right) = \frac{\mu PV}{RT_1(T_1 - \Delta T)}\Delta T.

[1 т.]

Като използваме стойностите на величините в SI, намираме:

\Delta m = \frac{0{,}029\ \mathrm{kg/mol}\ .\ 1{,}0.10^5\ \mathrm{Pa}\ .\ 120\ \mathrm{m^3}\ .\ 10\ \mathrm{K}}{8{,}31\ \mathrm{J/(mol.K)}\ .\ 300\ \mathrm{K}\ .\ 290\ \mathrm{K}} \approx 4{,}8\ \mathrm{kg},

[0,5 т.]

т. е. масата на въздуха се е увеличила. [0,5 т.]

б) Вътрешната енергия на идеалния газ зависи само от температурата $T$ и масата $m$ и се дава с израза

U = \frac{m}{\mu}C_V T.

[0,5 т.]

Моларният топлинен капацитет $C_V = sR/2 = \mathrm{const}$ (коефициентът $s = 5$ за въздуха, но в случая не е нужно учениците да посочват точната му стойност). [0,5 т.] Като използваме уравнението на състояние и израза за $C_V$ , за вътрешната енергия получаваме израза

U = \frac{s}{2}PV.

[0,5 т.]

Тъй като налягането $P$ и обемът $V$ на въздуха в стаята са постоянни, имаме $\Delta U = 0$ , т.е. вътрешната енергия $U$ не се променя при описания процес. [0,5 т.]

Част Б. а) Броят молове въздух в началото е:

n = \frac{PV}{RT},

[0,5 т.]

а броят молекули съответно:

N = N_A n = \frac{N_A PV}{RT} = \frac{PV}{k_B T}.

[0,5 т.]

От получената връзка между брой молекули и налягане на въздуха в спътника се вижда, че когато налягането се понижи до $p_1 = p - \Delta p = 0{,}8p$ , в спътника съответно ще останат:

N_1 = \frac{0{,}8PV}{k_B T}

[0,5 т.]

молекули. Следователно броят молекули, напуснали спътника, е:

\Delta N = N - N_1 = \frac{0{,}2PV}{k_B T}.

[0,5 т.]

За верен се приема и израз, в който вместо $k_B$ участва еквивалентното отношение $R/N_A$ . След като заместим с числените данни, намираме:

\Delta N = \frac{0{,}2\ .\ 1{,}0.10^5\ \mathrm{Pa}\ .\ 1{,}0\ \mathrm{m^3}}{1{,}38.10^{-23}\ \mathrm{J/K}\ .\ 273\ \mathrm{K}} \approx 5{,}3.10^{24}.

[0,5 т.]

б) Скоростта, с която изтича въздухът, е приблизително равна на средноквадратичната скорост на молекулите. При изтичане на въздуха температурата в спътника не се променя. Тъй като среднокводратичната скорост на молекулите:

v_{\mathrm{с.к.}} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}

зависи само от температурата, но не зависи от налягането, следва, че през цялото време молекулите излизат през отвора с приблизително еднаква скорост. [0,5 т.]

Като вземем предвид, че масата на една молекула е $m = \mu/N_A$ и използваме връзката: $R = k_B N_A$ , получаваме:

v_{\mathrm{с.к.}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}} = \sqrt{\frac{3\ .\ 8{,}3\ \mathrm{J/(mol.K)}\ .\ 273\ \mathrm{K}}{0{,}029\ \mathrm{kg/mol}}} \approx 480\ \mathrm{m/s}.

[1 т.]

Точката за крайния резултат се раздела на 0,5 т. за аналитичен израз и 0,5 т. за числен отговор. Численият отговор се приема за верен, ако при закръгляне към 10 m/s дава горния резултат.

Оригинал в Архива: NOF2_2022_12problems.pdf · официални решения: NOF2_2022_12solutions.pdf