НОФ 2022, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Кинематика

• а) $t_{\mathrm{изп}} = \frac{2v_{\mathrm{М}}}{3a_{\mathrm{А}}} = 10\ \mathrm{s},\qquad s_{\mathrm{А}} = \frac{v_{\mathrm{М}}t_{\mathrm{изп}}}{3} = \frac{2v_{\mathrm{М}}^2}{9a_{\mathrm{А}}} = 50\ \mathrm{m}$

  Изминатият от автомобила път до момента на изпреварването е $s_{\mathrm{А}} = 50\ \mathrm{m}$.

• б) $v_{\mathrm{А}} = a_{\mathrm{А}}t_{\mathrm{изп}} = \frac{2v_{\mathrm{М}}}{3} = 10\ \mathrm{m/s}$

• в) $t'_{\mathrm{изп}} = t_{\mathrm{изп}} + t = \frac{4v_{\mathrm{М}}}{3a_{\mathrm{А}}} = 20\ \mathrm{s},\qquad s'_{\mathrm{А}} = s_{\mathrm{А}} + v_{\mathrm{М}}t = \frac{8v_{\mathrm{М}}^2}{9a_{\mathrm{А}}} = 200\ \mathrm{m}$

  Изминатият от автомобила път до второто изпреварване е $s'_{\mathrm{А}} = 200\ \mathrm{m}$.

• г) $\tau = \frac{2v_{\mathrm{М}}}{a_{\mathrm{А}}} = 30\ \mathrm{s},\qquad \delta = d + \frac{a_{\mathrm{А}}\tau^2}{2} - v_{\mathrm{М}}\tau = d = 2s_{\mathrm{А}} = \frac{4v_{\mathrm{М}}^2}{9a_{\mathrm{А}}} = 100\ \mathrm{m}$

  Разстоянието между двамата водачи в този момент е $\delta = 100\ \mathrm{m}$.

а) Изминатият от мотоциклета път от началния момент до момента на изпреварването е $s_{\mathrm{М}} = v_{\mathrm{М}}t_{\mathrm{изп}}$. [0,5 т.] Условието мотоциклетът да настигне автомобила е $s_{\mathrm{М}} = d + s_{\mathrm{А}} = 3d/2$. [0,5 т.] Междувременно автомобилът изминава път $s_{\mathrm{А}} = \dfrac{a_{\mathrm{А}}t_{\mathrm{изп}}^2}{2} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{s_{\mathrm{М}}}{3} = \dfrac{v_{\mathrm{М}}t_{\mathrm{изп}}}{3}$ [0,5 т.], т.е. $t_{\mathrm{изп}} = \dfrac{2v_{\mathrm{М}}}{3a_{\mathrm{А}}} = 10\ \mathrm{s}$ [1 т.]. Оттук $s_{\mathrm{А}} = \dfrac{v_{\mathrm{М}}t_{\mathrm{изп}}}{3} = \dfrac{2v_{\mathrm{М}}^2}{9a_{\mathrm{А}}} = 50\ \mathrm{m}$. [1 т.]

б) В момента на изпреварването автомобилът има скорост $v_{\mathrm{А}} = a_{\mathrm{А}}t_{\mathrm{изп}} = \dfrac{2v_{\mathrm{М}}}{3} = 10\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

в) Нека да означим с $t$ времето между двете изпреварвания. За това време двете превозни средства изминават един и същ път: $v_{\mathrm{М}}t = v_{\mathrm{А}}t + \dfrac{a_{\mathrm{А}}t^2}{2}$ [0,5 т.], откъдето $t = \dfrac{2(v_{\mathrm{М}}-v_{\mathrm{А}})}{a_{\mathrm{А}}} = \dfrac{2v_{\mathrm{М}}}{3a_{\mathrm{А}}}$ [0,5 т.]. Следователно $t'_{\mathrm{изп}} = t_{\mathrm{изп}} + t = \dfrac{4v_{\mathrm{М}}}{3a_{\mathrm{А}}} = 20\ \mathrm{s}$. [1 т.] Изминатият от автомобила път до второто изпреварване е $s'_{\mathrm{А}} = s_{\mathrm{А}} + v_{\mathrm{М}}t = \dfrac{8v_{\mathrm{М}}^2}{9a_{\mathrm{А}}} = 200\ \mathrm{m}$. [1 т.]

г) Условието автомобилът да развие двойно по-голяма скорост от тази на мотоциклета е $a_{\mathrm{А}}\tau = 2v_{\mathrm{М}}$, откъдето $\tau = \dfrac{2v_{\mathrm{М}}}{a_{\mathrm{А}}} = 30\ \mathrm{s}$. [1 т.] В този момент разстоянието между двете превозни средства е $\delta = d + \dfrac{a_{\mathrm{А}}\tau^2}{2} - v_{\mathrm{М}}\tau = d = 2s_{\mathrm{А}} = \dfrac{4v_{\mathrm{М}}^2}{9a_{\mathrm{А}}} = 100\ \mathrm{m}$. [1,5 т.]