НОФ 2022, II кръг (областен), 8. клас — Задача 2. Свободно падане

• а) $H = \frac{g}{2}\left(\frac{h}{g\Delta t} + \frac{\Delta t}{2}\right)^2 = 180\ \mathrm{m}$
• б) $\frac{v_{\mathrm{ср2}}}{v_{\mathrm{ср1}}} = \frac{2h}{gt\Delta t} = \frac{4h}{2h - g(\Delta t)^2} = 3$
• в) $t_{100} = T - \sqrt{\frac{2(H - 100\ \mathrm{m})}{g}} = \frac{h}{g\Delta t} + \frac{\Delta t}{2} - \sqrt{\left(\frac{h}{g\Delta t} + \frac{\Delta t}{2}\right)^2 - \frac{200\ \mathrm{m}}{g}} = 2\ \mathrm{s}$
• г) $v_{\mathrm{кр}} = gT = \frac{h}{\Delta t} + \frac{g\Delta t}{2} = 60\ \mathrm{m/s}$

а) За време $t$ тялото изминава път $H - h = gt^2/2$ от първоначалната височина до височината $h$. [0,5 т.] Общият изминат път до удара в земната повърхност е $H = gT^2/2$, където $T$ е пълното време на падане. [0,5 т.] По условие $T - t = \Delta t$. От двете уравнения за пътя следва, че $T + t = \dfrac{T^2 - t^2}{T - t} = \dfrac{2h}{g(T-t)} = \dfrac{2h}{g\Delta t}$. [1 т.] Като съберем двете уравнения за сумата и разликата на времената, ще получим, че $T = \dfrac{h}{g\Delta t} + \dfrac{\Delta t}{2}$. [1 т.] Оттук $H = \dfrac{g}{2}\left(\dfrac{h}{g\Delta t} + \dfrac{\Delta t}{2}\right)^2 = 180\ \mathrm{m}$. [1 т.]

б) Средната скорост на тялото над височината $h$ е $v_{\mathrm{ср1}} = \dfrac{H-h}{t} = \dfrac{gt}{2}$. [0,5 т.] Средната скорост на движение след това е $v_{\mathrm{ср2}} = \dfrac{h}{\Delta t}$. [0,5 т.] Следователно търсеното отношение е $\dfrac{v_{\mathrm{ср2}}}{v_{\mathrm{ср1}}} = \dfrac{2h}{gt\Delta t}$. [0,5 т.] От предното подусловие се вижда, че $t = T - \Delta t = \dfrac{h}{g\Delta t} - \dfrac{\Delta t}{2}$. [0,5 т.] Оттук $\dfrac{v_{\mathrm{ср2}}}{v_{\mathrm{ср1}}} = \dfrac{4h}{2h - g(\Delta t)^2} = 3$. [1 т.]

в) Времето за изминаване на последните сто метра е $t_{100} = T - \sqrt{\dfrac{2(H - 100\ \mathrm{m})}{g}} = \dfrac{h}{g\Delta t} + \dfrac{\Delta t}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{h}{g\Delta t} + \dfrac{\Delta t}{2}\right)^2 - \dfrac{200\ \mathrm{m}}{g}} = 2\ \mathrm{s}$. [2 т.]

г) Окончателната скорост, с която тялото се удря в земната повърхност, е $v_{\mathrm{кр}} = gT = \dfrac{h}{\Delta t} + \dfrac{g\Delta t}{2} = 60\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]