Съдържание

НОФ 2022, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Теглене на трупчета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Олимпиада по физика 2022, областен кръг, тема за 8. клас (втора състезателна група) · 19 февруари 2022 г. · 10 т.

Условие

Две трупчета са свързани с безмасова неразтеглива нишка, както е показано на фигурата вляво. Лявото трупче е с неизвестна маса $m_{\mathrm{л}}$ , а дясното има неизвестна маса $m_{\mathrm{д}}$ , като $m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}} = 2\ \mathrm{kg}$ . На лявото трупче действа сила, насочена наляво, с неизвестна големина $F_{\mathrm{л}}$ . Дясното трупче е теглено надясно от сила с неизвестна големина $F_{\mathrm{д}}$ . Коефициентът на триене между трупчетата и хоризонталната повърхност е $k = 0{,}1$ . Първоначално трупчетата се движат надясно с неизвестно постоянно ускорение $a$ , като силата на опън на нишката е $T = 3\ \mathrm{N}$ . В даден момент нишката между трупчетата е прерязана, след което върху трупчета продължават да действат същите сили $F_{\mathrm{л}}$ и $F_{\mathrm{д}}$ . Новото ускорение на лявото трупче, след като спре и започне да се движи наляво, е $a_{\mathrm{л}} = 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ , докато дясното трупче продължава движението си надясно с ново ускорение $a_{\mathrm{д}} = 3{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ . Използвайте, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Две правоъгълни трупчета m_л и m_д върху хоризонтална повърхност с означение k, свързани с нишка; стрелка F_л сочи наляво от лявото трупче, стрелка F_д — надясно от дясното, вертикална стрелка g сочи надолу. — Двете трупчета с маси $m_{\mathrm{л}}$ и $m_{\mathrm{д}}$ , свързани с нишка върху хоризонтална повърхност с коефициент на триене $k$ ; силите $F_{\mathrm{л}}$ (наляво) и $F_{\mathrm{д}}$ (надясно) и посоката на земното ускорение $g$ .

а) Определете масите $m_{\mathrm{л}}$ и $m_{\mathrm{д}}$ на двете трупчета. [7 т.]

б) На колко са равни големините на силите $F_{\mathrm{л}}$ и $F_{\mathrm{д}}$ ? [2 т.]

в) Намерете големината на първоначалното ускорение $a$ . [1 т.]

Отговори

Решение

Диаграма на силите за двете трупчета: вертикални стрелки нагоре N_л и N_д, надолу G_л и G_д, хоризонтални стрелки F_л наляво, F_д надясно, силите на триене f_л и f_д наляво и две противоположни стрелки T на нишката между трупчетата. — Силите, действащи на двете трупчета преди прерязването на нишката: тежестите $G_{\mathrm{л}}$ и $G_{\mathrm{д}}$ , реакциите $N_{\mathrm{л}}$ и $N_{\mathrm{д}}$ , силите на триене $f_{\mathrm{л}}$ и $f_{\mathrm{д}}$ , външните сили $F_{\mathrm{л}}$ и $F_{\mathrm{д}}$ и силите на опън $T$ .

а) Както може да се види на чертежа вляво, във вертикално направление на лявото трупче действат силата на тежестта $G_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}}g$ надолу и реакцията на опората $N_{\mathrm{л}} = G_{\mathrm{л}}$ нагоре. В хоризонтално направление действат силата $F_{\mathrm{л}}$ наляво, силата на триене $f_{\mathrm{л}} = kN_{\mathrm{л}} = km_{\mathrm{л}}g$ наляво и силата на опън $T$ надясно (преди нишката да бъде прерязана). [0,5 т.] На дясното трупче (във вертикално направление) действат силата на тежестта $G_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}}g$ надолу и реакцията на опората $N_{\mathrm{д}} = G_{\mathrm{д}}$ нагоре. Преди прерязването на нишката в хоризонтално направление действа силата $F_{\mathrm{д}}$ надясно, както и силата на триене $f_{\mathrm{д}} = kN_{\mathrm{д}} = km_{\mathrm{д}}g$ и силата на опън $T$ наляво. [0,5 т.] Като приложим II принцип на Нютон за двете трупчета преди да бъде прерязана нишката, ще получим: $T - F_{\mathrm{л}} - km_{\mathrm{л}}g = m_{\mathrm{л}}a$ [1 т.] (за лявото трупче) и $F_{\mathrm{д}} - T - km_{\mathrm{д}}g = m_{\mathrm{д}}a$ [1 т.] (за дясното трупче). След прерязването на нишката няма да има сили на опън и II принцип на Нютон за движението на двете трупчета дава: $F_{\mathrm{л}} - km_{\mathrm{л}}g = m_{\mathrm{л}}a_{\mathrm{л}}$ [0,5 т.] (за лявото трупче) и $F_{\mathrm{д}} - km_{\mathrm{д}}g = m_{\mathrm{д}}a_{\mathrm{д}}$ [0,5 т.] (за дясното трупче). Като изразим силите $F_{\mathrm{л}}$ и $F_{\mathrm{д}}$ от двете уравнения след прерязването на нишката и ги заместим в уравненията на Нютон преди прерязването, ще получим, че $T - m_{\mathrm{л}}(a_{\mathrm{л}} + 2gk) = m_{\mathrm{л}}a$ и $m_{\mathrm{д}}a_{\mathrm{д}} - T = m_{\mathrm{д}}a$ . [0,5 т.] Изключваме първоначалното ускорение $a$ от последните две уравнения, което води до $m_{\mathrm{л}}m_{\mathrm{д}} = \dfrac{T(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{д}})}{a_{\mathrm{л}}+a_{\mathrm{д}}+2gk} = 1\ \mathrm{kg^2}$ . [1 т.] За двете маси се получава едно и също уравнение: $m(2\ \mathrm{kg} - m) = 1\ \mathrm{kg^2}$ . Оттук $m^2 - 2m\ \mathrm{kg} + 1\ \mathrm{kg^2} = (m - 1\ \mathrm{kg})^2 = 0$ [0,5 т.], откъдето $m_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{д}} = 1\ \mathrm{kg}$ [1 т.].

б) От II принцип на Нютон за движението на двете трупчета след прерязването на нишката се вижда, че $F_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}}(a_{\mathrm{л}} + kg) = 1{,}5\ \mathrm{N}$ [1 т.], а $F_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}}\left(a_{\mathrm{д}} + kg\right) = 4{,}5\ \mathrm{N}$ [1 т.].

в) От първото подусловие следва, че $a = a_{\mathrm{д}} - T/m_{\mathrm{д}} = 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ . [1 т.]

Внимание! (важи за решенията на всички задачи)

За всякакви алтернативни решения, обяснени ясно и получаващи същите резултати, да се присъжда пълният брой точки, посочени за съответното подусловие.

Оригинал в Архива: NOF2_2022_8problems.pdf · официални решения: NOF2_2022_8solutions.pdf