Съдържание

НОФ 2022, III кръг (национален), 10. клас — Задача 1. Теглилки на масивна нишка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Национална олимпиада по физика 2022, национален кръг, IV състезателна група (10. клас) · 1 април 2022 г. · 10 т.

Условие

Лявата теглилка $m_{\mathrm{л}}$ върху гладка хоризонтална повърхност, масивната нишка $m_{\mathrm{н}}$ с дължина $L$, макарата и висящата теглилка $m_{\mathrm{д}}$. — Лявата теглилка $m_{\mathrm{л}}$ върху гладка хоризонтална повърхност, масивната нишка $m_{\mathrm{н}}$ с дължина $L$ , макарата и висящата теглилка $m_{\mathrm{д}}$ .

Две теглилки с неизвестни маси $m_{\mathrm{л}}$ и $m_{\mathrm{д}}$ са свързани с еднородна масивна неразтеглива нишка с дължина $L = 2\ \mathrm{m}$ , както е показано на фигурата вляво. Нишката (с неизвестна маса $m_{\mathrm{н}}$ ) е прекарана през неподвижно окачена безмасова макара с много малък радиус. Отношенията на масите са $m_{\mathrm{д}} : m_{\mathrm{н}} : m_{\mathrm{л}} = 1 : 2 : 3$ . Преди системата да започне да се движи, лявата теглилка се намира на неизвестно разстояние $d$ от макарата върху гладка хоризонтална повърхност. По време на движението на системата ускоренията на теглилките нарастват. В момента когато лявата теглилка се намира на неизвестно разстояние $d'$ от макарата, дясната теглилка се откачва от нишката. Дадено е, че в този момент ускорението на лявата теглилка и нишката спада мигновено до първоначалното ускорение $a_{\mathrm{нач}}$ на системата. След това теглилката с маса $m_{\mathrm{л}}$ и нишката продължават да се движат ускорително, докато теглилката не стигне до макарата. Тогава лявата теглилка има окончателно ускорение на движение $a_{\mathrm{кр}}$ , равно на ускорението на системата непосредствено преди откачването на дясната теглилка. Може да използвате, че земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Определете големината на окончателното ускорение $a_{\mathrm{кр}}$ , с което лявата теглилка ще стигне до макарата. [2 т.]

б) На колко е равно разстоянието $d'$ ? [4 т.]

в) Намерете първоначалното ускорение $a_{\mathrm{нач}}$ на системата. [2 т.]

г) Определете първоначалното разстояние $d$ между лявата теглилка и макарата. [2 т.]

Отговори

Решение

Силите върху системата в момента, когато лявата теглилка достига макарата: сила на опън $T$ и тежест ($g$). — Силите върху системата в момента, когато лявата теглилка достига макарата: сила на опън $T$ и тежест ( $g$ ).

а) Когато лявата теглилка достига макарата, се изпълняват следните две уравнения на Нютон за хоризонталната и вертикалната части от системата: $T_{\mathrm{кр}} = m_{\mathrm{л}}a_{\mathrm{кр}}$ [0,5 т.] и $m_{\mathrm{н}}g - T_{\mathrm{кр}} = m_{\mathrm{н}}a_{\mathrm{кр}}$ [0,5 т.], където $T_{\mathrm{кр}}$ е моментната сила на опън на нишката върху макарата. Получаваме, че $a_{\mathrm{кр}} = \frac{m_{\mathrm{н}}}{m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}}}g = \frac{2}{5}g \approx 4\ \mathrm{m/s^2}$ . [1 т.]

б) Първоначално, хоризонталната част на нишката е с дължина $d$ , като съответната маса е $m_{\mathrm{н}}d/L$ . [0,2 т.] Тогава вертикалната част на нишката има дължина $L-d$ и маса $m_{\mathrm{н}}(L-d)/L$ . [0,3 т.] От II принцип на Нютон имаме следните две уравнения за хоризонталната и вертикалната части от системата: $T_{\mathrm{нач}} = \left(m_{\mathrm{л}} + \frac{d}{L}m_{\mathrm{н}}\right)a_{\mathrm{нач}}$ [0,5 т.] и $\left(m_{\mathrm{д}} + \frac{L-d}{L}m_{\mathrm{н}}\right)g - T_{\mathrm{нач}} = \left(m_{\mathrm{д}} + \frac{L-d}{L}m_{\mathrm{н}}\right)a_{\mathrm{нач}}$ [0,5 т.], като $T_{\mathrm{нач}}$ е първоначалната сила на опън на нишката върху макарата. Следователно $a_{\mathrm{нач}} = \frac{m_{\mathrm{д}}+\frac{L-d}{L}m_{\mathrm{н}}}{m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{д}}+m_{\mathrm{н}}}g$ . [0,5 т.] Окончателното ускорение на системата е равно на ускорението непосредствено преди откачването на дясната теглилка, т.е. $a_{\mathrm{кр}} = \frac{m_{\mathrm{д}}+\frac{L-d'}{L}m_{\mathrm{н}}}{m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{д}}+m_{\mathrm{н}}}g = \frac{m_{\mathrm{н}}}{m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}}}g$ . [0,5 т.] Оттук $d' = \frac{m_{\mathrm{л}}m_{\mathrm{д}}}{m_{\mathrm{н}}(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}})}L = \frac{3}{10}L = 0{,}6\ \mathrm{m}$ . [1,5 т.]

в) Първоначалното ускорение на системата е равно на ускорението непосредствено след откачването на дясната теглилка, т.е. $a_{\mathrm{нач}} = \frac{(L-d')m_{\mathrm{н}}}{L(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}})}g = \frac{m_{\mathrm{н}}(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}})-m_{\mathrm{л}}m_{\mathrm{д}}}{(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}})^2}g = \frac{7}{25}g \approx 2{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ . [2 т.]

г) От равенствата $a_{\mathrm{нач}} = \frac{m_{\mathrm{д}}+\frac{L-d}{L}m_{\mathrm{н}}}{m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{д}}+m_{\mathrm{н}}}g = \frac{m_{\mathrm{н}}(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}})-m_{\mathrm{л}}m_{\mathrm{д}}}{(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}})^2}g$ [0,5 т.] получаваме, че $d = \frac{m_{\mathrm{л}}m_{\mathrm{д}}\left[2(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}})+m_{\mathrm{д}}\right]}{m_{\mathrm{н}}(m_{\mathrm{л}}+m_{\mathrm{н}})^2}L = \frac{33}{50}L \approx 1{,}3\ \mathrm{m}$ . [1,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2022_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2022_10solutions.pdf