Съдържание

НОФ 2022, III кръг (национален), 10. клас — Задача 2. Електрическа пирамида

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Национална олимпиада по физика 2022, национален кръг, IV състезателна група (10. клас) · 1 април 2022 г. · 10 т.

Условие

Шест резистора с неизвестни съпротивления $R_1$ и $R_2$ са свързани по начина, показан на фигурата вляво. Резисторите са разположени по ръбовете на тетраедър (триъгълна пирамида). Точките на свързване на проводниците са във върховете на пирамидата и са означени с A, B, C, D. Дадено е, че еквивалентното съпротивление между точките A и B е двойно по-малко от еквивалентното съпротивление между точките C и D.

Тетраедърът от шест резистора: $R_2$ по ръбовете **AD**, **BD**, **CD** и $R_1$ по ръбовете **AB**, **AC**, **BC**. — Тетраедърът от шест резистора: $R_2$ по ръбовете AD, BD, CD и $R_1$ по ръбовете AB, AC, BC.

а) Намерете отношението $R_2/R_1$ . [6,5 т.]

б) Ако свържем идеална батерия с дадено електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ между точките A и B, отделената мощност в цялата верига ще бъде $P$ . Определете на колко са равни съпротивленията $R_1$ и $R_2$ . [1,5 т.]

в) Приемете, че точките A и B са свързани накъсо. Какво съпротивление ще се измери между точките B и C в този случай? [2 т.]

Отговори

Решение

Планарно представяне на веригата при подаване на напрежение между **A** и **B** (фигурата по-горе вляво). — Планарно представяне на веригата при подаване на напрежение между A и B (фигурата по-горе вляво).

Еквивалентната схема за $R_{\mathbf{AB}}$ след откачване на средния резистор $R_2$ (фигурата по-горе вдясно).

а) Електрическата верига може да се представи планарно по начина показан на фигурата по-горе вляво. Тази верига е симетрична спрямо отсечката CD и при подаване на напрежение между точките A и B няма да има напрежение между C и D. [0,5 т.] В такъв случай няма да протече ток през средния резистор със съпротивление $R_2$ (горната част от веригата представлява балансиран Уитстонов мост) и той може да бъде откачен от веригата. [0,5 т.] Получава се еквивалентната схема, показана на фигурата по-горе вдясно. [0,5 т.] Съпротивлението, което ще се измери между точките A и B, е равно на $R_{\mathbf{AB}} = \frac{R_1(2R_1)(2R_2)}{R_1(2R_1)+R_1(2R_2)+(2R_1)(2R_2)} = \frac{2R_1R_2}{R_1+3R_2}$ . [1 т.] Изходната електрическа верига може да се представи планарно и по начина показан на фигурата по-долу вляво. Ако подадем напрежение между точките C и D в тази верига, конфигурацията от токове ще бъде симетрична спрямо правата, свързваща точките A и B. [1 т.] В този случай няма да протече ток през средния резистор със съпротивление $R_1$ (отново горната част от веригата представлява балансиран Уитстонов мост) и може да го откачим от веригата. [0,5 т.] Получава се система от последователно и успоредно свързани резистори с еквивалентна схема, показана на фигурата по-долу вдясно. [0,5 т.] Съпротивлението, което ще се измери между точките C и D, е равно на $R_{\mathbf{CD}} = \frac{R_2(R_1+R_2)^2}{2R_2(R_1+R_2)+(R_1+R_2)^2} = \frac{R_2(R_1+R_2)}{R_1+3R_2}$ . [1 т.] От условието $R_{\mathbf{CD}} = 2R_{\mathbf{AB}}$ следва, че отношението $R_2/R_1 = 3$ . [1 т.]

Планарно представяне на веригата при подаване на напрежение между **C** и **D** (фигурата по-долу вляво). — Планарно представяне на веригата при подаване на напрежение между C и D (фигурата по-долу вляво).

Еквивалентната схема за $R_{\mathbf{CD}}$ след откачване на средния резистор $R_1$ (фигурата по-долу вдясно).

б) Мощността, която се отделя в резисторите, е $P = \frac{\mathcal{E}^2}{R_{\mathbf{AB}}} = \frac{(R_1+3R_2)\mathcal{E}^2}{2R_1R_2} = \frac{5\mathcal{E}^2}{3R_1}$ . [0,5 т.] Следователно $R_1 = \frac{5\mathcal{E}^2}{3P}$ [0,5 т.], а $R_2 = 3R_1 = \frac{5\mathcal{E}^2}{P}$ . [0,5 т.]

Схемата, която се получава, когато точките **A** и **B** са свързани накъсо (подусловие в). — Схемата, която се получава, когато точките A и B са свързани накъсо (подусловие в).

в) Ако точките A и B са свързани накъсо, се получава схемата вляво. [1 т.] Съпротивлението, което ще се измери между точките B и C, е равно на $R'_{\mathbf{BC}} = \frac{3R_1R_2}{2(R_1+3R_2)} = \frac{9R_1}{20} = \frac{3\mathcal{E}^2}{4P}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2022_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2022_10solutions.pdf