Съдържание

НОФ 2022, III кръг (национален), 10. клас — Задача 3. Оптическа призма

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Национална олимпиада по физика 2022, национален кръг, IV състезателна група (10. клас) · 1 април 2022 г. · 10 т.

Условие

Правилна триъгълна призма от материал с неизвестен показател на пречупване $n$ се намира във въздух с показател на пречупване $1$ . Напречното сечение на призмата е равностранен триъгълник с дължина на страната $\ell = 10\ \mathrm{cm}$ . Лазерен лъч влиза в призмата през околна стена почти под прав ъгъл (хлъзгайки се към повърхността ѝ) и успоредно на основите на призмата, както е показано на фигурата вляво. След пречупване лъчът излиза от призмата през съседна околна стена, като излезлият лъч е перпендикулярен на влизащия в призмата лъч.

Напречното сечение на призмата с показател на пречупване $n$ и страна $\ell$: лъчът влиза почти под прав ъгъл и излиза през съседната околна стена (към подусловие а). — Напречното сечение на призмата с показател на пречупване $n$ и страна $\ell$ : лъчът влиза почти под прав ъгъл и излиза през съседната околна стена (към подусловие а).

а) Намерете показателя на пречупване $n$ на материала, от който е направена призмата. Може да използвате, че $\sin(\theta - \varphi) = \sin\theta\cos\varphi - \cos\theta\sin\varphi$ за произволни ъгли $\theta$ и $\varphi$ . [3,5 т.]

Лъч, падащ върху околната стена на разстояние $x$ от най-близкия ръб, който минава през срещуположния ръб на призмата (към подусловие б).

б) Светлинен лъч пада върху околна стена под ъгъл $\alpha = 30°$ , след което минава през срещуположния ръб на призмата, както може да се види на фигурата вляво. На колко е равен ъгълът между ъглополовящата през срещуположния ръб и влезлия в призмата лъч? Определете разстоянието $x$ от точката, където лъчът пада върху околната стена на призмата, до най-близкия ръб на призмата. [4 т.]

в) На колко е равен максималният ъгъл на падане $\alpha_{\max}$ на светлинен лъч, така че лъчът да мине през срещуположния ръб на призмата (подобно на лъча от предното подусловие)? Къде трябва да влезе лъчът в призмата при този случай? [2,5 т.]

Отговори

Решение

Ходът на лазерния лъч с ъглите $\beta$, $\gamma$ и $60°$ (към подусловие а). — Ходът на лазерния лъч с ъглите $\beta$ , $\gamma$ и $60°$ (към подусловие а).

а) Както може да се види на чертежа вляво, лазерният лъч първо се пречупва под ъгъл $\beta$ , като $\sin\beta = \frac{1}{n}$ . [0,5 т.] Вътре в призмата ъгълът на падане $\gamma = 60° - \beta$ . [0,5 т.] За второто пречупване от закона на Снелиус имаме, че $n\sin\gamma = \sin 60°$ . [0,5 т.] Оттук $n\sin\gamma = n\sin(60° - \beta) = n(\sin 60° \cos\beta - \cos 60° \sin\beta) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ [0,5 т.], откъдето $\sqrt{3(n^2-1)} = 1 + \sqrt{3}$ [0,5 т.], т.е. $n = \sqrt{\frac{7+2\sqrt{3}}{3}} \approx 1{,}87$ [1 т.].

б) На чертежа вляво се вижда ходът на светлинния лъч. От закона на Снелиус следва връзка между ъгъла на падане $\alpha$ и ъгъла на пречупване $\delta$ : $\sin\delta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{1}{2n} \approx 0{,}27$ , т.е. търсеният ъгъл $\delta \approx 16°$ . [1 т.] След като влезе в призмата, лъчът минава през срещуположния ръб на призмата и играе ролята на хипотенуза в правоъгълен триъгълник, чийто катети са с дължини $\ell\sqrt{3}/2$ и $\frac{\ell}{2} - x$ (вж. фигурата вляво). [1 т.] Следователно $\tan\delta = \frac{\ell-2x}{\ell\sqrt{3}} = \frac{\sin\delta}{\cos\delta} = \frac{1}{\sqrt{4n^2-1}}$ . [1 т.] Търсеното разстояние е $x = \frac{\ell}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{3}{4n^2-1}}\right) \approx 2{,}6\ \mathrm{cm}$ . [1 т.]

Ходът на светлинния лъч с ъгли $\alpha$ и $\delta$, разстоянието $x$ и катетите $\ell\sqrt{3}/2$ и $\frac{\ell}{2}-x$ (към подусловие б). — Ходът на светлинния лъч с ъгли $\alpha$ и $\delta$ , разстоянието $x$ и катетите $\ell\sqrt{3}/2$ и $\frac{\ell}{2}-x$ (към подусловие б).

в) Ако увеличаваме ъгъла на падане, трябва лъчът да пада все по-близо до долния ляв ръб на призмата, за да мине през срещуположния ръб, след като влезе в призмата. Максималният ъгъл на падане се реализира, ако лъчът „влезе“ през долния ляв ръб, т.е. при $x_{\min} = 0$ . [0,5 т.] Оттук следва, че за ъгъла на пречупване $\tan\delta_{\max} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\delta_{\max} = 30°$ . [0,5 т.] За съответния максимален ъгъл на падане $\sin\alpha_{\max} = n\sin\delta_{\max} = n\sin 30° = \frac{n}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{7+2\sqrt{3}}{3}} \approx 0{,}93$ [1 т.] и $\alpha_{\max} \approx 69°$ [0,5 т.].

Оригинал в Архива: NOF3_2022_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2022_10solutions.pdf