Съдържание

НОФ 2022, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Диелектрик в електростатично поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Национален кръг на олимпиадата по физика 2022 — тема за V състезателна група (11. и 12. клас), теоретичен етап · 1 април 2022 г. · 15 т.

Условие

Кондензатор се състои от две успоредни правоъгълни метални плочи със страни a = 2,0 cm и b = 1,0 cm, намиращи се на разстояние d = 1,0 mm една от друга. Между плочите е поставена правоъгълна пластинка от диелектрик с относителна диелектрична проницаемост $\varepsilon = 5,0$ , която заема изцяло пространството между плочите (фиг. 3, а). Пластинката може да се хлъзга без триене в направление на страната a. Плочите на кондензатора са свързани към източник на постоянно напрежение U = 100 V.

Полезнни константи:

електрична константа (проницаемост на вакуума), $\varepsilon_0 = 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ ;
земно ускорение, $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Запишете израз и пресметнете капацитета $C_0$ на така конструирания кондензатор. [2 т.]

б) Диелектричната пластинка е отместена на разстояние x успоредно на страната a (x < a), както е показано на фиг. 3, б. Получете израз за капацитета C(x) на кондензатора като функция на отместването на пластинката. [2 т.]

в) В началото диелектричната пластина е поставена изцяло в кондензатора (вж. фиг. 3, а), след което е извадена напълно от него. Какво количество заряд $\Delta q$ минава през източника на напрежение при изваждането на пластинката? Направете и схема на електрическата верига, като означите посоката, в която минава зарядът през източника. [3 т.]

г) При изваждане на пластината от кондензатора, върху нея действа постоянна електрична сила $\vec F$ , която се стреми да я „върне” обратно в кондензатора (вж. фиг. 3, б). Получете израз за големината F на тази сила и я пресметнете числено.

Упътване. Връщащата електрична сила е резултат от взаимодействието между зарядите върху плочите на кондензатора и електричните диполи в диелектрика. Затова непосредственото пресмятане на F чрез закона на Кулон е сложна задача. Вместо това проследете енергетичните промени, които настъпват в електрическата верига при изваждането на диелектричната пластинка от кондензатора. [5 т.]

д) Две вертикални успоредни метални плочи са частично потопени в съд с машинно масло. На каква максимална височина h може да се издигне маслото между плочите, ако към тях бъде приложено електрично напрежение, както е показано на фиг. 3, в?

Плътността на маслото е $\rho = 900\ \mathrm{kg/m^3}$ , а относителната му диелектрична проницаемост е $\varepsilon = 2,5$ . Полето на електричен пробив на въздуха е $E_\text{в} = 3{,}0.10^{6}\ \mathrm{V/m}$ , а на маслото –. $E_\text{м} = 1{,}5.10^{7}\ \mathrm{V/m}$ Земното ускорение е. Капилярните сили, действащи на маслото се пренебрегват. Приемете, че маслото не може да достигне горния ръб на плочите. [3 т.]

Аксонометрична схема: две правоъгълни плочи със страни $a$ и $b$, между тях слой диелектрик с дебелина $d$; изводите са свързани към полюсите + и − на източник $U$. — Фиг. 3, а — плосък кондензатор със страни $a$ и $b$ , разстояние $d$ и диелектрик с проницаемост $\varepsilon$ , свързан към източник с напрежение $U$ .

Двете плочи с диелектрична пластинка, изтеглена навън на разстояние $x$; стрелка $\vec F$ сочи навътре в кондензатора. — Фиг. 3, б — диелектричната пластинка е отместена на разстояние $x$ успоредно на страната $a$ ; върху нея действа връщащата сила $\vec F$ .

Схема отстрани: две вертикални плочи, свързани към източник $U$ с полюси + и −, потопени в съд с масло; между плочите маслото се е издигнало на височина $h$. — Фиг. 3, в — две вертикални успоредни плочи на разстояние $d$ , частично потопени в машинно масло, което се издига на височина $h$ .

Отговори

Решение

а) От формулата за капацитет на плосък кондензатор имаме:

C_0 = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}. \qquad (1)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

Като вземем предвид, че $S = ab$ , получаваме:

C_0 = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 ab}{d} = \frac{5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-2}\ \mathrm m\cdot 1{,}0\cdot 10^{-1}\mathrm m}{1{,}0\cdot 10^{-3}\mathrm m} = 8{,}85\cdot 10^{-12}\mathrm F. \qquad (2)\qquad \textbf{[0,5 т. + 0,5 т.]}

б) Системата е еквивалентна на два успоредни кондензатора, както е показано на схемата – първият, пълен с диелектрик, и с площ на плочите $S_1 = (a - x)b$ , а вторият – въздушен с площ на плочите $S_1 = xb$ . Капацитетите на двата кондензатора са съответно:

C_1 = \frac{\varepsilon\varepsilon_0(a - x)b}{d}\quad\text{и}\quad C_2 = \frac{\varepsilon_0 xb}{d} \qquad (3)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

Еквивалентният капацитет при успоредно свързване е:

C = C_1 + C_2 = C_0 - \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 bx}{d} \qquad (4)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

в) В началото x = 0 и зарядът на положителната плоча на кондензатора е:

q_1 = C_0U = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 abU}{d}. \qquad (5)\qquad \textbf{[0,5 т.]}

В момента, преди пластината да бъде извадена напълно, x = a и зарядът на положителната плоча става:

q_2 = C(a)U = \frac{\varepsilon_0 abU}{d}. \qquad (6)\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Зарядът, минал през източника, е равен на промяната на заряда на кондензатора:

\Delta q = q_2 - q_1 = -\frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 abU}{d} \approx -7{,}1\cdot 10^{-10}\ \mathrm C. \qquad (7)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

Знакът „минус” означава, че вътре в източника зарядът се пренася от положителния му полюс – към отрицателния му полюс, както е показано на фигурата. [1,0 т.]

Вляво: два успоредни кондензатора — единият с диелектрик и ширина $a-x$, другият въздушен с ширина $x$. Вдясно: верига с кондензатор и източник с полюси − и +, стрелка $\Delta q$ сочи наляво. — Еквивалентната схема на двата успоредни кондензатора (вляво) и посоката на заряда $\Delta q$ през източника (вдясно).

г) Потенциалната енергия на кондензатора в началния момент е:

W_1 = \frac{C_0U^2}{2} = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 abU^2}{2d}, \qquad (8)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

а след изваждането на пластинката – съответно:

W_2 = \frac{C(a)U^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 abU^2}{2d}, \qquad (9)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

За да бъде извадена пластинката от кондензатора, върху нея трябва да действа външна сила със същата големина F като връщащата сила, но в противоположна посока. От закона за запазване на енергията следва, че промяната на електричната потенциална енергия на кондензатора при изваждането на диелектрика е:

W_2 - W_1 = Fa + \Delta qU, \qquad (10)\qquad \textbf{[2,0 т.]}

където $Fa$ е работата на външната сила, $\Delta q$ е промяната на заряда на кондензатора, а $\Delta qU$ - съответната работа на електродвижещите сили в източника вследствие на миналия през него заряд. Като използваме израза (7) за преминалия заряд, получаваме:

-\frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 abU^2}{2d} = Fa - \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 abU^2}{d}, \qquad (11)

откъдето намираме големината на силата:

F = \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 bU^2}{2d} \approx 1{,}8\cdot 10^{-6}\ \mathrm N. \qquad (12)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

д) Маслото се издига, докато електричната сила, „дърпаща” масления стълб нагоре в кондензатора, се уравновеси със силата на тежестта:

\frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 bU^2}{2d} = \rho bhdg. \qquad (13)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

Оттук изразяваме височината на издигане на маслото:

h = \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 U^2}{2\rho gd^2}. \qquad (14)

Вижда се, че h се увеличава с повишаване на приложеното напрежение. Напрежението може да нараства, докато в една от двете среди – въздух или масло, настъпи електричен пробив. Тъй като интензитетът на полето е еднакъв и в двете среди, електричен пробив ще настъпи първо във въздуха, който има по-малко поле на пробив. Следователно максималното напрежение е:

U_{\max} = E_\text{в}d, \qquad (15)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

а максималната височина на издигане на маслото съответно:

h_{\max} = \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 E_\text{в}^2}{2\rho g} \approx 6{,}8\cdot 10^{-3}\mathrm m = 6{,}8\ \mathrm{mm}. \qquad (16)\qquad \textbf{[1,0 т.]}

Оригинал в Архива: NOF3_2022_11-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2022_11-12solutions.pdf