НОФ 2022, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Теория на билиардните топки

• а) $\tau_0 = \frac{2v_0}{7kg},\qquad v(\tau_0) = \frac{5}{7}v_0$

  Както се и очаква $v(\tau_0) < v_0$.

• б) $h_0 = \frac{2}{5}R_0$

• в) $\tau_1 = \frac{2v_0}{7gk}\left(\frac{5h}{2R_0} - 1\right),\qquad v(\tau_1) = \frac{5}{7}v_0\left(1 + \frac{h}{R_0}\right)$

  Понеже $h > \tfrac{2}{5}R_0$, то $v(\tau_1) > v_0$.

• г) $\tau_2 = \frac{2v_0}{7gk}\left(1 - \frac{5h}{2R_0}\right),\qquad v(\tau_2) = \frac{5}{7}v_0\left(1 + \frac{h}{R_0}\right)$

  В решението изразът (31) е означен с $\tau_1$ вместо с $\tau_2$ — печатна грешка в източника. Понеже $h < \tfrac{2}{5}R_0$, то $v(\tau_2) < v_0$.

• д) При $h > h_0$ и при $0 < h < h_0$ веднага след удара $v_x^{(A)} < 0$, силата на триене има компонента $f_x > 0$ и центърът на масите на топка 1 се ускорява напред по оста $x$, докато топката започне да се търкаля без хлъзгане. При $h < 0$ придобитата ъглова скорост е с обратна посока, силата на триене има компонента $f_x < 0$ и топката се връща назад, докато не започне отново да се търкаля без хлъзгане.

а) След централния удар, на топката не ѝ е предадена начална ъглова скорост и тя започва да се търкаля с хлъзгане. Единствената сила, която действа на топката е силата на триене $\vec f$, която има въртящ момент с големина $N = f R_0$ и е в посока протиположна на посоката на движение, както е показано на фиг. 1.

Реакцията на опората е $R = Mg$, а силата на триене е

От закона на Нютон за въртеливото движение имаме:

Получаваме, че ъгловото ускорение е:

В такъв случай ъгловата скорост се увеличава според закона:

От друга страна, движението на центъра на масите е равнозакъснително. Намираме ускорението на центъра на масите от втория закон на Нютон:

Оттук получаваме за ускорението:

Понеже силата на триене е в посока противоположна на посоката на движение, движението е равнозакъснително и за закона на скоростта получаваме:

Скоростта на точката на допиране A с масата (вж. Фиг. 3) е:

Билярдната топка започва да се търкаля без триене в момента $\tau_0$, когато $v_x^{(A)}(\tau_0) = 0$. Оттук намираме уравнение за $\tau_0$:

Заместваме (4) и (7) в (9) и получаваме:

Оттук получаваме и $\tau_0$:

Оттук за скоростта на топката в момент $\tau_0$ получаваме:

Както се и очаква $v(\tau_0) < v_0$. [3 т.]

б) Да разгледаме фиг. 2.

Нека силата, с която щеката удря топката, е $\vec F$. Ако считаме, че ударът е твърде кратък и времето за удара е $\Delta t$, то от втория закон на Нютон имаме:

От друга страна въртящият момент на силата $F$ спрямо точка O е очевидно

От закона на Нютон за въртеливото движение, за времето $\Delta t$ на удара имаме:

където $\Delta L$ е изменението на ъгловия момент на билярдната топка. Тогава имаме

За получаване на Ур. (16), използвахме (13). От друга страна

Като сравним (16) и (17) получаваме началната ъглова скорост, придадена от щеката:

В мига след удара, скоростта на точка A е:

От условието $v_x^{(A)} = 0$ за търкаляне без хлъзгане, получаваме $h_0$:

в) Щом като $h > \frac{2}{5}R_0$ от Ур. (19) следва, че $v_x^{(A)} < 0$. Щом това е така, силата на триене е насочена по оста $x$, както е показано на фиг. 3:

Отново имаме

От втория закон на Нютон намираме ускорението на центъра на масите:

Центърът на масите се движи равноускорително и тогава за скоростта на центъра на масите имаме:

От закона за въртеливото движение получаваме ъгловото ускорение на топката:

Въртеливото движение е равнозакъснително и закона за ъгловата скорост е:

От Ур. (18) имаме:

Времето $\tau_1$, за което топката започва да се търкаля без хлъзгане, намираме от условието $v_x^{A}(\tau_1) = 0$, или което е все едно:

От Ур. (23) и (26), (27) се трансформира в:

Оттук за $\tau_1$ се получава:

За скоростта на центъра на масите имаме:

И понеже $h > \frac{2}{5}R_0$, то $v(\tau_1) > v_0$, както и се очаква. [4 т.]

г) Щом като $h < \frac{2}{5}R_0$ от Ур. (19) следва, че $v_x^{(A)} > 0$. Тогава силата на триене $\vec f$ сочи обратно на оста $x$, както е показано на фиг. 4.

С изчисления подобни на тези от в) и като отчетем, че тук центърът на масите се движи равнозакъснително, а въртеливото движение е равноускорително, получаваме:

А за скоростта на центъра на масите имаме:

И понеже $h < \frac{2}{5}R_0$ получаваме, че $v(\tau_2) < v_0$, както и се очаква, като отчетем посоката на силата не триене $\vec f$. [4 т.]

д) При удар между двете топки, центърът на масите на движещата се топка (топка 1) се спира, а другата топка (топка 2) започва да се движи със същата скорост, каквато е имала топка 1 в мига преди удара. Обаче топка 1 (макар центърът на масите ѝ да е спрял в мига на удара) продължава да се върти с ъглова скорост $\omega(t_0)$, където $t_0$ е моментът на удара.

В случая, когато $h > h_0$, веднага след удара $v_x^{(A)} < 0$ и силата на триене в мига след удара има компонента $f_x > 0$ и центърът на масите на топка 1 се ускорява напред по оста $x$, докато топката започне да се търкаля без хлъзгане.

Когато $0 < h < h_0$, при удар с друга топка (топка 2), центърът на масите на топка 1 също спира и отново в мига на удара $v_x^{(A)} < 0$ и силата на триене в мига на удара отново има компонента $f_x > 0$. Отново центърът на масите се ускорява напред, докато топката започне да се търкаля без хлъзгане.

Когато $h < 0$, на топката е придобита начална ъглова скорост $\omega$, с посока обратна на другите два случая. Ако в мига на удара с друга топка, тази ъглова скорост остане в тази посока, то силата на триене в мига на удара има компонента $f_x < 0$ и топката се връща назад, докато не започне отново да се търкаля без хлъзгане. [1 т.]