Съдържание

НОФ 2022, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Локация и движение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Национална олимпиада по физика 2022, национален кръг, тема за II състезателна група (8. клас) · 1 април 2022 г. · 10 т.

Условие

Част А. На фиг. 1 е показана локаторна станция, която изпраща последователно светлинни импулси през интервали от време $T_1$ . Отразените от автомобила импулси се връщат назад към локаторната станция през равни интервали от време $T_2$ .

Част А. Определете скоростта на автомобила, като я изразите посредсдтвом $T_1$ , $T_2$ и скоростта на сметлината $c$ . [4,5 т.]

Локаторна станция вляво, излъчваща импулси; автомобил вдясно, движещ се надясно със скорост v. — Фиг. 1 — локаторната станция излъчва импулси през интервали $T_1$ и приема отразените от автомобила импулси през интервали $T_2$ ; автомобилът се отдалечава със скорост $v$ .

Част Б. а) Част Б. От база се изстрелват последователно по една и съща права две ракети с еднаква скорост. Локаторна станция в базата изпраща светлинни импулси през равни интервали от време $T_1$ . Всеки светлинен импулс, отразен от първата ракета, попада в локаторната станция едновременно със следващия излъчен от нея импулс, отразен от втората ракета. Отразените импулси винаги попадат в локаторната станция през равни интервали от време $T_2$ .

а) Определете времето, за което светлинен импулс изминава разстоянието между ракетите по посока на движението им и в обратна посока на движението им. [3,5 т.]

б) б) Намерете разстоянието $l$ между ракетите.

Пояснение. При разпространението си част от светлинния импулс може да се отрази от първоначално достигнатата от него ракета, а останалата част ше се отрази, когато достигне следващата ракета. [2 т.]

Отговори

Решение

А. По моментите на изпускане на импулс $t_1$ и на приемане на отразен импулс $t_2$ се намира разстоянието между станцията и автомобила в момента на отразяване на сигнала

r = \frac{1}{2}c(t_2 - t_1),

[0,5 т.]

където $c$ е скоростта на светлината. Тогава моментът на отражение на импулса е

t = \frac{1}{2}(t_1 + t_2).

[0,5 т.]

Следващият импулс се изпуска в момента $t_1' = t_1 + T_1$ [0,5 т.] и се приема в момента $t_2' = t_2 + T_2$ [0,5 т.]. Разстоянието между ракетата и базата в момента на отражение на този импулс е

r' = \frac{1}{2}c(t_2' - t_1'),

[0,5 т.]

като момента на отразяване на този сигнал е

t' = \frac{1}{2}(t_1' + t_2').

[0,5 т.]

Тогава имаме

\Delta r = r' - r = \frac{1}{2}c(T_2 - T_1), \qquad \Delta t = t' - t = \frac{1}{2}(T_1 + T_2),

[1 т.]

при което за скоростта се получава израза

v = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{T_2 - T_1}{T_1 + T_2}c.

[0,5 т.]

Б) а) Ракетите се движат с еднаква скорост

v = \frac{T_2 - T_1}{T_1 + T_2}c

[0,5 т.]

спрямо базата и разстоянието $l$ между тях е постоянно. Да разгледаме два последователни импулса. Нека първият импулс е излъчен в момента $\tau_1$ и в момента $\tau$ той достига втората изстреляна ракета. Част от светлинния импулс се отразява от нея и попада в локаторната станция в момента $\tau_2$ , а останалата част достига в момента $\tau'$ първата изстреляна ракета. След отразяването си от нея той среща втората ракета в момента $\tau''$ , когато в нея попада следващият импулс, изпуснат от локаторната станция. След това първият изпуснат импулс, отразен от първата изстреляна ракета, и вторият импулс, отразен от втората изстреляна ракета, едновременно попадат в локаторната станция в момента $\tau_2 + T_2$ [1 т.]. . Така можем да запишем

\tau = \frac{1}{2}(\tau_1 + \tau_2), \qquad \tau' = \frac{1}{2}(\tau_1 + \tau_2 + T_2), \qquad \tau'' = \frac{1}{2}(\tau_1 + T_1 + \tau_2 + T_2).

[1 т.]

От тези равенства следва, че времето за изминаване на разстоянието между ракетите по посока на движението им е

\tau' - \tau = T_2/2,

[0,5 т.]

а в посока, обратна на движението –

\tau'' - \tau' = T_1/2.

[0,5 т.]

б) За определяне на разстоянието $l$ между ракетите ще изпозваме равенствата

c\frac{T_2}{2} = l + v\frac{T_2}{2}, \text{ (по посока на движението)}

[0,5 т.]

c\frac{T_1}{2} = l - v\frac{T_2}{2}, \text{ (в посока, противоположна на движението)}

[0,5 т.]

от които след заместване на израза за $v$ получаваме

l = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}c.

[1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2022_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2022_8solutions.pdf