НОФ 2022, IV кръг, контролно 10 × 3 точки — Задача 4. Пет заряда върху сфера

Контролна работа 10 задачи × 3 точки, 17 юни 2022 г. · 3 т.

Основни физични константи, които може да бъдат използвани в задачите
  • Елементарен електричен заряд, e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{C};
  • Електрична проницаемост на вакуума, ε0=8.85×10−12 F/m\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m};
  • Кулонова константа, kC=14πε0=8.99×109 N.m2/C2k_\mathrm{C} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N.m^2/C^2};
  • Магнитна проницаемост на вакуума, μ0=4π×10−7 H/m\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m};
  • Скорост на светлината във вакуум, c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s};
  • Константа на Болцман, kB=1.38×10−23 J/Kk_\mathrm{B} = 1.38 \times 10^{-23}\ \mathrm{J/K};
  • Универсална газова константа, R=8.31 J/(mol.K)R = 8.31\ \mathrm{J/(mol.K)};
  • Число на Авогадро, NA=6.02×1023 mol−1N_\mathrm{A} = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}};
  • Константа на Стефан-Болцман, σ=5.67×10−8 W.m−2.K−4\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}}
  • Константа на Вин; b=2.90×10−3 m.Kb = 2.90 \times 10^{-3}\ \mathrm{m.K};
  • Константа на Планк, h=6.63×10−34 J.sh = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J.s} (ℏ=h2π=1.05×10−34J.s\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1.05 \times 10^{-34}\mathrm{J.s});
  • Маса на електрона, me=9.11×10−31 kgm_\mathrm{e} = 9.11 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg};
  • Маса на протона/неутрона, mp≈mn=1.67×10−27 kgm_\mathrm{p} \approx m_\mathrm{n} = 1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg};

Условие

5 едноименни заряда с една и съща големина qq могат да се преместват по повърхността на сфера с радиус rr. Търси се коя тяхна геометрична конфигурация има минимална електростатична потенциална енергия.

а) Една възможност е 3 от зарядите да образуват максимално големия равностранен триъгълник, а другите 2 заряда да допълнят този триъгълник до правилна триъгълна бипирамида (две правилни триъгълни пирамиди с обща основа). Изчислете потенциалната енергия на тази конфигурация.

б) Втора възможност е 4 от зарядите да образуват квадрат, а петият да допълни този квадрат до правилна квадратна пирамида. Получете формула за потенциалната енергия на втората конфигурация като функция на някакъв ъгъл, дефиниращ тази пирамида.

в) Изчислете с достатъчно голяма точност този ъгъл, за да оцените минималната потенциална енергия на втората конфигурация. Коя от двете конфигурации е с по-малка потенциална енергия – първата или втората?

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива липсва файл с решения

Оригинал в Архива: kontrolno_30.pdf