НОФ 2023, II кръг (областен), 7. клас — Задача 1. Изпреварване на колона от автомобили

• 1.1. $v_{\mathrm{м}} = v_{\mathrm{а}} + \tfrac{1}{2}(v_{\mathrm{к}} + v_{\mathrm{а}}) = 106\ \mathrm{km/h}$

• 1.2. $t = \frac{L_{\mathrm{а}}}{v_{\mathrm{м}} - v_{\mathrm{а}}} = \frac{91\ \mathrm{m}}{52\ \mathrm{km/h}} = 6.3\ \mathrm{s}$

• 1.3. $s = s_1 + s_2 = 0.525\ \mathrm{km} = 525\ \mathrm{m},\quad t = t_1 + t_2 = 0.0075\ \mathrm{h} = 27\ \mathrm{s}$

  Освен пътя $s = 525$ m се иска и времето: $t = 0{,}0075$ h $= 0{,}45$ min $= 27$ s.

Решение 1.1. Да означим времето за изпреварване на колоната с $t_1$. За това време мотористът изминава разстояние $v_{\mathrm{м}}t_1$, а колоната $v_{\mathrm{а}}t_1$. [0.5 т.] За да е безопасно изпреварването по отношение на колоната трябва да е изпълнено, че $v_{\mathrm{м}}t_1 - v_{\mathrm{а}}t_1 \geq L_0 + L_{\mathrm{а}} + L_{\mathrm{мин}}$. [0.5 т.] Тъй като търсим минималната скорост $v_{\mathrm{м}}$, то $t_1 = (L_0 + L_{\mathrm{а}} + L_{\mathrm{мин}})/(v_{\mathrm{м}} - v_{\mathrm{а}})$. [0.5 т.] За същото време камионът е изминал разстояние $v_{\mathrm{к}}t_1$, а между камиона и колоната остава разстояние $L_1 - v_{\mathrm{к}}t_1 - v_{\mathrm{а}}t_1$. За да е безопасно изпреварването и по отношение на камиона това разстояние трябва да е по-голямо или равно на $2L_{\mathrm{мин}}$. [1 т.] Така получаваме:

[1 т.]

След като го преобразуваме получаваме:

[1.5 т.]

Като отчетем, че скоростта на камиона е $v_{\mathrm{к}} = 50\ \mathrm{km/h}$, то за минималната скорост на мотоциклета получаваме $v_{\mathrm{м}} = \left[54 + \tfrac{1}{2}(50 + 54)\right]\ \mathrm{km/h} = 106\ \mathrm{km/h}$. [0.5 т.]

Алтернативно решение: равенство (1) може да се получи и като използваме, че спрямо колоната мотоциклетът се движи със скорост $(v_{\mathrm{м}} - v_{\mathrm{а}})$. [0.5 т.] За да е безопасно изпреварването той трябва да измине разстояние $(L_0 + L_{\mathrm{а}} + L_{\mathrm{мин}})$, така ще се намира на разстояние $L_{\mathrm{мин}}$ пред колоната. [0.5 т.] Това става за време $t_1 = (L_0 + L_{\mathrm{а}} + L_{\mathrm{мин}})/(v_{\mathrm{м}} - v_{\mathrm{а}})$. [0.5 т.] За същото време камионът се е приближил към колоната с $(v_{\mathrm{к}} + v_{\mathrm{а}})t_1$ и разстоянието между колоната и камиона вече е $\left[L_1 - (v_{\mathrm{к}} + v_{\mathrm{а}})t_1\right]$, което трябва да е по-голямо или равно на $2L_{\mathrm{мин}}$. [1 т.] Двете решения носят еднакъв брой точки.

Решение 1.2. След като сме определили скоростта на мотоциклета, може да определим времето за изпреварване на автомобилите:

[1.5 т.]

Решение 1.3. По време на изпреварването мотористът се движи със скорост $v_{\mathrm{м}} = 106\ \mathrm{km/h}$ и изминава път $s_1 = v_{\mathrm{м}}t_1$, където $t_1 = (L_0 + L_{\mathrm{а}} + L_{\mathrm{мин}})/(v_{\mathrm{м}} - v_{\mathrm{а}}) = (0.009 + 0.091 + 0.020)/(106 - 54)\ \mathrm{h} = (12/5200)\ \mathrm{h} = (3/1300)\ \mathrm{h}$ [0.5 т.] или $s_1 = (318/1300)\mathrm{km/h}$. [0.5 т.] След изпреварването се движи време $t_2 = (L_{\mathrm{мин}} + L_{\mathrm{к}} + L_2)/(v_{\mathrm{к}} + v_{\mathrm{а}}) = (0.540/104)\ \mathrm{h} = (27/5200)\ \mathrm{h}$, [0.5 т.] за което време разстоянието между камиона и мотоциклета става $L_2$. Изминатият път за това време е $s_2 = v_{\mathrm{а}}t_2 = (54\cdot 27/5200)\ \mathrm{km} = (27\cdot 27/2600)\ \mathrm{km} = (729/2600)\ \mathrm{km}$. [0.5 т.] Така получаваме:

[0.5 т.]

[0.5 т.]