НОФ 2023, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Кинематика

• а) $a_0 = \frac{20-5}{3}\ \mathrm{m/s^2} = 5\ \mathrm{m/s^2},\qquad a_{10} = \frac{15-5}{5}\ \mathrm{m/s^2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$

  Две стойности: $a_0 = 5\ \mathrm{m/s^2}$ и $a_{10} = 2\ \mathrm{m/s^2}$.

• б) $v_2 = (20 - 5\cdot 2)\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta t = 1\ \mathrm{s} + 6\ \mathrm{s} + 2{,}5\ \mathrm{s} = 9{,}5\ \mathrm{s}$

  Две стойности: $v_2 = 10\ \mathrm{m/s}$ и $\Delta t = 9{,}5\ \mathrm{s}$.

• в) $s_5 = \left(20\cdot 3 - \frac{5\cdot 3^2}{2} + 5\cdot 2\right)\ \mathrm{m} = 47{,}5\ \mathrm{m},\qquad s_{\mathrm{кр}} = s_5 + \left(5\cdot 4 + 5\cdot 5 + \frac{2\cdot 5^2}{2} + 15\cdot 1\right)\ \mathrm{m} = 132{,}5\ \mathrm{m}$

  Две стойности: $s_5 = 47{,}5\ \mathrm{m}$ и $s_{\mathrm{кр}} = 132{,}5\ \mathrm{m}$.

• г) $\bar v_{10} = \frac{s_{10}}{10\ \mathrm{s}} = 7{,}35\ \mathrm{m/s}$

а) В началото движението е равнозакъснително, като големината на ускорението на обекта е $a_0 = \frac{20-5}{3}\,\mathrm{m/s^2} = 5\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.] Обектът се движи равноускорително 10 s след началото на движението, като ускорението е $a_{10} = \frac{15-5}{5}\,\mathrm{m/s^2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.]

б) Скоростта на обекта, след като са изминали 2 s от началния момент, е $v_2 = (20 - 5\cdot 2)\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}$. [1 т.] Тази скорост отново се достига по време на равноускорителното движение, когато скоростта на обекта нараства линейно с изминалото време. Скоростта $v_2 = 10\ \mathrm{m/s}$ е точно по средата между началната ($5\ \mathrm{m/s}$) и крайната ($15\ \mathrm{m/s}$) скорост на равноускорителното движение, така че скоростта $v_2$ се достига 2,5 s (половината от 5 s) след началото на равноускорителното движение. [1 т.] Оттук следва, че $\Delta t = 1\ \mathrm{s} + 6\ \mathrm{s} + 2{,}5\ \mathrm{s} = 9{,}5\ \mathrm{s}$. [0,5 т.]

в) Движението е равнозакъснително с ускорение $a_0$ през първите 3 s, след което е равномерно в продължение на 6 s. Следователно изминатият от обекта път за първите 5 s е $s_5 = \left(20\cdot 3 - \frac{5\cdot 3^2}{2} + 5\cdot 2\right)\ \mathrm{m} = 47{,}5\ \mathrm{m}$. [1,5 т.] След това има равноускорително движение в продължение на 5 s и равномерно движение за една секунда, т.е. пълният път е $s_{\mathrm{кр}} = s_5 + \left(5\cdot 4 + 5\cdot 5 + \frac{2\cdot 5^2}{2} + 15\cdot 1\right)\ \mathrm{m} = 132{,}5\ \mathrm{m}$. [2 т.]

г) Нека да означим с $s_{10}$ изминатия път за първите 10 s. От даденото в условието на задачата следва, че $s_{10} = s_5 + \left(5\cdot 4 + 5\cdot 1 + \frac{2\cdot 1^2}{2}\right)\ \mathrm{m} = 73{,}5\ \mathrm{m}$. [1 т.] Средната скорост на обекта за първите 10 s е $\bar v_{10} = \frac{s_{10}}{10\ \mathrm{s}} = 7{,}35\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]