НОФ 2023, II кръг (областен), 8. клас — Задача 2. Свободно падане

• а) $t_{12} = \frac{3T}{2} = 1{,}5\ \mathrm{s}$

• б) $h = gT(2t_{12} - T) = 2gT^2 = 20\ \mathrm{m},\qquad v_{\mathrm{кр}} = gt_{1\mathrm{уд}} = 2gT = 20\ \mathrm{m/s}$

  Две стойности: $h = 20\ \mathrm{m}$ и $v_{\mathrm{кр}} = 20\ \mathrm{m/s}$.

• в) $h_2 = \frac{h}{2} - \frac{g\left(t_{1\mathrm{уд}}-T\right)^2}{2} = \frac{gT^2}{2} = 5\ \mathrm{m},\qquad v_2 = g\left(t_{1\mathrm{уд}} - T\right) = gT = 10\ \mathrm{m/s}$

  Две стойности: $h_2 = 5\ \mathrm{m}$ и $v_2 = 10\ \mathrm{m/s}$.

• г) $\Delta t_{\mathrm{уд}} = t_{2\mathrm{уд}} - t_{1\mathrm{уд}} = \left(\sqrt{2}-1\right)T \approx 0{,}41\ \mathrm{s}$

а) За време $t_{12}$ първото топче развива скорост $gt_{12}$, докато второто топче придобива скорост $g(t_{12} - T)$. [1 т.] От условието на задачата имаме, че $gt_{12} = 3g(t_{12} - T)$, откъдето $t_{12} = \frac{3T}{2} = 1{,}5\ \mathrm{s}$. [1 т.]

б) Когато двете топчета се намират на една и съща височина над земната повърхност, се изпълнява равенството $h - \frac{gt_{12}^2}{2} = \frac{h}{2} - \frac{g(t_{12}-T)^2}{2}$ (приравняваме изразите за височините, които са достигнали двете топчета). [1 т.] След опростяване се получава, че $h = gT(2t_{12} - T) = 2gT^2 = 20\ \mathrm{m}$. [1,5 т.] Времето за падане на първото топче е $t_{1\mathrm{уд}} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2T$. [1 т.] Скоростта на първото топче при удара в земната повърхност е $v_{\mathrm{кр}} = gt_{1\mathrm{уд}} = 2gT = 20\ \mathrm{m/s}$. [0,5 т.]

в) Когато първото топче се удря в земята, второто топче се намира на височина $h_2 = \frac{h}{2} - \frac{g\left(t_{1\mathrm{уд}}-T\right)^2}{2} = \frac{gT^2}{2} = 5\ \mathrm{m}$. [1 т.] Тогава скоростта на второто топче е $v_2 = g\left(t_{1\mathrm{уд}} - T\right) = gT = 10\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

г) Времето, за което пада второто топче, е $\sqrt{\frac{h}{g}} = \sqrt{2}\,T$. [0,5 т.] От момента на пускането на първото топче до удара на второто топче в земята изминава време $t_{2\mathrm{уд}} = T + \sqrt{\frac{h}{g}} = \left(1 + \sqrt{2}\right)T$. [0,5 т.] Следователно времето между ударите на двете топчета в земната повърхност е $\Delta t_{\mathrm{уд}} = t_{2\mathrm{уд}} - t_{1\mathrm{уд}} = \left(\sqrt{2} - 1\right)T \approx 0{,}41\ \mathrm{s}$. [1 т.]