Съдържание

НОФ 2023, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Трупчета и макара

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Олимпиада по физика 2023, областен кръг, тема за 8. клас (втора състезателна група) · 18 февруари 2023 г. · 10 т.

Условие

Схема: блок 4m върху хоризонтална повърхност, свързан с нишка през макара с висящ блок m. — Трупчето $4m$ върху хоризонталната повърхност, нишката през макарата и висящото трупче $m$ ; отбелязани са гладката област ( $k_{\mathrm{нач}} = 0$ ) и грапавата област ( $k_{\mathrm{кр}} > 0$ ).

Две трупчета с неизвестни маси $m$ и $4m$ са свързани с безмасова неразтеглива нишка, както е показано на фигурата вляво. Нишката е прекарана през неподвижна безмасова макара. Първоначално системата се движи равноускорително с неизвестно ускорение $a$ , докато лявото трупче се намира върху гладка област от хоризонталната повърхност (с нулев коефициент на триене). Тогава силата на опън на нишката е $T_{\mathrm{нач}} = 0{,}8\ \mathrm{N}$ . След това лявото трупче достига грапава област, където коефициентът на триене между трупчето и повърхността е $k_{\mathrm{кр}} > 0$ (неизвестен), и системата започва да се движи равномерно. Може да използвате, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Намерете ускорението $a$ и масата $m$ . [5,5 т.]

б) Определете на колко е равна силата на опън $T_{\mathrm{кр}}$ на нишката при движението с триене и стойността на коефициента на триене $k_{\mathrm{кр}}$ . [4,5 т.]

Отговори

Решение

Диаграма на силите за системата от двете трупчета и макарата. — Силите, които първоначално действат на двете трупчета: $N$ , $G_{4m}$ и $T_{\mathrm{нач}}$ за лявото трупче, $G_m$ и $T_{\mathrm{нач}}$ за дясното.

а) Силите, които първоначално действат на трупчетата, са показани на чертежа вляво. На трупчето с маса $m$ действа силата на тежестта $G_m = mg$ надолу и силата на опън на нишката $T_{\mathrm{нач}}$ нагоре. [0,5 т.] На трупчето с маса $4m$ действа силата на тежестта $G_{4m} = 4mg$ надолу, реакцията на опората $N$ нагоре и силата на опън на нишката $T_{\mathrm{нач}}$ надясно. [0,5 т.] Като приложим II принцип на Нютон за движението без триене на двете трупчета, ще получим: $mg - T_{\mathrm{нач}} = ma$ [1 т.] (за дясното трупче) и $T_{\mathrm{нач}} = 4ma$ [1 т.] (за лявото трупче). Като съберем двете уравнения, за да изключим силата на опън, получаваме, че ускорението $a = \frac{g}{5} = 2\ \mathrm{m/s^2}$ . [1,5 т.] Масата $m = \frac{T_{\mathrm{нач}}}{4a} = \frac{5T_{\mathrm{нач}}}{4g} = 0{,}1\ \mathrm{kg}$ . [1 т.]

б) При движението с триене на лявото трупче действа и сила на триене $f$ , насочена наляво. От условието за равновесие на трупчето във вертикално направление следва, че реакцията на опората $N = G_{4m} = 4mg$ . [0,5 т.] Силата на триене е с големина $f = k_{\mathrm{кр}}N = 4k_{\mathrm{кр}}mg$ . [0,5 т.] Оттук II принцип на Нютон за равномерното движение на двете трупчета дава: $mg - T_{\mathrm{кр}} = 0$ [1 т.] (за дясното трупче) и $T_{\mathrm{кр}} - 4k_{\mathrm{кр}}mg = 0$ [1 т.] (за лявото трупче). От първото уравнение следва, че $T_{\mathrm{кр}} = mg = \frac{5T_{\mathrm{нач}}}{4} = 1\ \mathrm{N}$ . [0,5 т.] Като съберем двете равенства, ще получим $\left(1 - 4k_{\mathrm{кр}}\right)mg = 0$ , т.е. $k_{\mathrm{кр}} = 0{,}25$ . [1 т.]

Внимание! (важи за решенията на всички задачи) За всякакви алтернативни решения, обяснени ясно и получаващи същите резултати, да се присъжда пълният брой точки, посочени за съответното подусловие.

Оригинал в Архива: NOF2_2023_8problems.pdf · официални решения: NOF2_2023_8solutions.pdf