Съдържание

НОФ 2023, II кръг (областен), 9. клас — Задача 3. Как се разпределя мощността?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Областен кръг на олимпиадата по физика, 18.02.2023 г. — тема за трета състезателна група (9. клас) · 18 февруари 2023 г. · 10 т.

Условие

Малкият Борко си има нова електрическа играчка-автомобилче. Тя представлява еднороден куб със страна $b = 20\ \mathrm{cm}$ , като на едната му стена са поставени четири колела. Масата на играчката е $m = 500\ \mathrm{g}$ . И четирите колела се задвижват едновременно от електродвигател с постоянна механична мощност $P = 16\ \mathrm{W}$ . Коефициентът на триене между колелата и пода е $k = 0{,}4$ .

Размерът и масата на колелата може да бъдат пренебрегнати в сравнение с $b$ и $m$ съответно. Съпротивлението на въздуха и триенето между частите на задвижващия механизъм също се пренебрегват.

Куб със страна b, стоящ на пода, с две колела (черни кръгчета), поставени на дясната му вертикална стена.

Фиг. 5

А) Първоначално играчката била преобърната на страничната си стена, както е показано на фиг. 5. Каква минимална работа $A$ трябва да извърши Борко, за да постави автомобилчето с колелата върху пода? [2 т.]

Б) След като играчката била поставена с колелата върху пода, Борко започнал да я бута с изключен двигател, при което колелата били блокирани и вместо да се въртят, се хлъзгали по пода. Каква минималната работа $A_1$ трябва да извърши Борко, за да избута амтомобилчето на разстояние $d = 1{,}2\ \mathrm{m}$ по пода? [2 т.]

В) Каква минимална работа $A_2$ трябва да извърши Борко, за да повдигне автомобилчето на височина $d = 1{,}2\ \mathrm{m}$ над пода? [1 т.]

Г) Борко поставил автомобилчето на пода с нулева начална скорост, но с включен двигател и въртящи се колела. Известно време колелата буксували, т.е. приплъзвали се по пода. Колко било ускорението $a$ на автомобилчето, докато колелата буксували? [1,5 т.]

Д) След време $t_0 = 2\ \mathrm{s}$ колелата престанали да буксуват, а автомобилчето продължило да се движи напред.

Колко била скоростта $v_0$ на автомобилчето в момента $t_0$ ?

Каква скорост $v_1$ би достигнало автомобилчето, ако бъде оставено да се движи общо $t_1 = 5\ \mathrm{s}$ след поставянето му върху пода? Приемете, че след като колелата престанат да буксуват, цялата механична работа на двигателя се изразходва за ускоряване на автомобилчето. [3,5 т.]

Отговори

Решение

А) В началото центърът на тежестта на куба се намира на височина:

h_1 = b/2 \qquad \textbf{(0,5 т)}

Борко би извършил минимална работа, ако преобърне куба около неговия ръб. Тогава центърът на тежестта достига максимална височина:

h_2 = b\sqrt{2}/2 \qquad \textbf{(0,5 т)}

в момента, когато диагоналът на куба е вертикален.

Вляво куб, стоящ на страна, с диагонали и означение a/2 за височината на центъра; вдясно същият куб, завъртян на 45 градуса с вертикален диагонал, с означение a корен от 2 върху 2.

В този случай извършената от Борко работа е равна на промяната на потенциалната енергия на куба:

A = mgh_2 - mgh_1 = mg\frac{b}{2}(\sqrt{2} - 1) \qquad \textbf{(0,5 т)}

Като заместим с числените данни:

A = 0{,}5\ \mathrm{kg} \cdot 10\ \mathrm{m/s^2} \cdot \frac{0{,}1\ \mathrm{m}}{2}(\sqrt{2} - 1) \approx 0{,}1\ \mathrm{J} \qquad \textbf{(0,5 т)}

Б) Колелата оказват върху пода натиск:

N = mg \qquad \textbf{(0,5 т)}

Минималната сила, с която Борко трябва да бута автомобилчето, е равна на силата на триене между колелата и пода:

F = kN = kmg \qquad \textbf{(0,5 т)}

Следователно минималната работа, за да бъде избутано автомобилчето на разстояние $d$ , е:

A_1 = Fd = kmgd \qquad \textbf{(0,5 т)}

Като заместим с числените данни:

A_1 = 0{,}4 \cdot 0{,}5\ \mathrm{kg} \cdot 10\ \mathrm{m/s^2} \cdot 1{,}2\ \mathrm{m} = 2{,}4\ \mathrm{J} \qquad \textbf{(0,5 т)}

В) Минималната сила, която трябва да приложи Борко, е равна на силата на тежестта, действаща на автомобилчето. Следователно, извършеената работа, е:

A_2 = Gd = mgd \qquad \textbf{(0,5 т)}

A_2 = 0{,}5\ \mathrm{kg} \cdot 10\ \mathrm{m/s^2} \cdot 1{,}2\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J} \qquad \textbf{(0,5 т)}

Г) Силата на триене между буксуващите колела и пътя е движещата сила, която ускорява автомобилчето:

F = kN = kmg \qquad \textbf{(0,5 т)}

От II принцип на механиката следва, че докато колелата буксуват, автомобилчетно се движи равноускорително с ускорение:

a = \frac{F}{m} = kg \qquad \textbf{(0,5 т)}

a = 4\ \mathrm{m/s^2} \qquad \textbf{(0,5 т)}

Д) До момента $t_0$ автомобилчето се движи равноускорително. От закона за скоростта при нулева начална скорост, намираме:

v_0 = at_0 = 8\ \mathrm{m/s} \qquad \textbf{(0,5 т)}

След този момент колелата „зацепват“ към пода и силата на триене става по-малка от силата на триене при хлъзгане, т.е. автомобилчето се движи под действие на намаляваща теглителна сила с намаляващо ускорение. Скоростта в по-късния момент $t_1$ обаче може да бъде определена чрез закона за запазване на енергията. Понеже движението без буксуване е продължава време $\Delta t = t_1 - t_0 = 3\ \mathrm{s}$ , двигателят извършва механична работа:

A = P\Delta t = P(t_1 - t_0) \qquad \textbf{(0,5 т)}

По условие цялата извършена от двигателя работа се изразходва за увеличаване на кинетичната енергия на автомобилчето:

P(t_1 - t_0) = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} \qquad \textbf{(0,5 т)}

Оттук получаваме израз за скоростта в крайния момент:

v_1 = \sqrt{v_0^2 + \frac{2P(t_1 - t_0)}{m}} \qquad \textbf{(1 т)}

Като заместим с числените данни:

v_1 = \sqrt{(8\ \mathrm{m/s})^2 + \frac{2 \cdot 16\ \mathrm{W} \cdot 3\ \mathrm{s}}{0{,}5\ \mathrm{kg}}} = 16\ \mathrm{m/s}\ (\approx 58\ \mathrm{km/h}\,!) \qquad \textbf{(1 т)}

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Работа и енергия · Триене · Мощност и КПД

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF2_2023_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2023_9solutions.pdf