Съдържание

НОФ 2023, III кръг (национален), 10. клас — Задача 1. Скок с бънджи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, четвърта състезателна група (10. клас) · 22 април 2023 г. · 10 т.

Условие

Приятелите на Митко му правят подарък за рождения ден – скок с бънджи. Митко е висок $h_0 = 2\ \mathrm{m}$ и има маса $m = 100\ \mathrm{kg}$ . Той скача без начална скорост от платформа с височина $h = 25\ \mathrm{m}$ над езеро. Краката му са завързани за еластично въже, другият край на което е закрепен към платформата. Митко започва да пада от изправено положение. Дължината и коефициентът на еластичност на въжето са подбрани така, че в най-долната точка Митко да докосне с главата си повърхността на водата. В края на скока, след като трептенията на въжето затихват, Митко се оказва с краката нагоре, а главата му се намира на разстояние $\Delta h = 8\ \mathrm{m}$ над повърхността на водата.

Схематична рисунка на платформа и човек, завързан за еластично въже, в изправено положение горе и с краката нагоре долу.

Приемете човешкото тяло за еднороден цилиндър и земното ускорение $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

А) Намерете максималната дължина $l_1$ на въжето в разтегнато състояние. [0,5 т.]

Б) Намерете дължината на въжето $l_2$ , когато Митко се намира в равновесие. [0,5 т.]

В) Намерете дължината на въжето $l_0$ в недеформирано състояние. [3,5 т.]

Г) Намерете коефициента $k$ на еластичност на въжето. [1 т.]

Д) Намерете максималната скорост на Митко по време на падането. [2 т.]

Е) Намерете максималното ускорение на Митко по време на падането. [2,5 т.]

Решение

Нека отбележим с $k$ коефициента на еластичност, а с $l_0$ – дължината на въжето в неразтегнато състояние.

А) (0,5 т.)

Максималната дължина на въжето е:

l_1 = h - h_0 = 23\ \mathrm{m} \qquad \textbf{(0,5 т)}

Б) (0,5 т.)

l_2 = l_1 - \Delta h = 15\ \mathrm{m} \qquad \textbf{(0,5 т)}

В) (3,5 т.)

От закона за запазване на енергията следва, че

mgh = \frac{k(l_1 - l_0)^2}{2}. \qquad \textbf{(1 т)}

В състояние на равновесие се уравновесяват силата на тежестта и силата на еластичност:

mg = k(l_2 - l_0). \qquad \textbf{(1 т)}

При почленно разделяне на двете уравнения се получава:

l_0^2 + 2(h - l_1)l_0 + (l_1^2 - 2hl_2) = 0 \qquad \textbf{(0,5 т)}

или

l_0^2 + 4l_0 - 221 = 0. \qquad \textbf{(0,5 т)}

Уравнението има един положителен и един отрицателен корен. Физически смисъл има само положителният корен:

l_0 = 13\ \mathrm{m}. \qquad \textbf{(0,5 т)}

Г) (1 т.)

Коефициентът $k$ на еластичност на въжето е:

k = \frac{mg}{l_2 - l_0} = 500\ \mathrm{N/m} \qquad \textbf{(1 т)}

Д) (2 т.)

От закона за запазване на енергията, приложен за хармонично трептене:

\frac{mv^2}{2} + \frac{k(l_2 - l_0)^2}{2} = mg(l_2 + h_0), \qquad \textbf{(1 т)}

получаваме максималата скорост при преминаване през равновесното положение:

v = \sqrt{g(l_2 + l_0 + 2h_0)} \approx 17{,}8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \qquad \textbf{(1 т)}

Е) (2,5 т.)

Максималната деформация на въжето спрямо неразтегнатото му състояние е:

l_1 - l_0 = 23 - 13 = 10\ \mathrm{m}, \qquad \textbf{(0,5 т)}

а деформацията му спрямо равновесното състояние на скачача:

l_2 - l_0 = 2\ \mathrm{m} \qquad \textbf{(0,5 т)}

Следователно максималната сила на опън на въжето е $k(l_1 - l_0) = 5mg$ , а съответната равнодействащата сила върху Митко:

F_\mathrm{p} = 5mg - mg = 4mg \qquad \textbf{(1 т)}.

От II принцип на механиката, $F_\mathrm{p} = ma$ , намираме максималното ускорение на Митко:

a = 4g \qquad \textbf{(0,5 т)}.

Оригинал в Архива: NOF3_2023_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2023_10solutions.pdf