Съдържание

Условие Част 1. (4 т.)Част 2. (6 т.)Решение

НОФ 2023, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Равновесие

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2023

Национална олимпиада по физика 2023, национален кръг, втора състезателна група (8. клас) · 22 април 2023 г. · 10 т.

Условие

(задачата се състои от две независими части)

Част 1. (4 т.)

На хоризонтална дъска са поставени три тела – дървено кубче, шестоъгълна гайка и триъгълна призма. Дъската започва да се накланя бавно, както е показано на фиг. 1 (а), докато заеме вертикално положение. В какъв ред ще започнат да се търкалят трите тела по дъската? Обосновете отговора си и го илюстрирайте с подходящ чертеж.

Приемете, че триенето между телата и дъската е толкова голямо, че когато дъската се накланя, всяко от телата първо се преобръща и започва да се търкаля по нея, без да се хлъзга по повърхността ѝ. Телата са отместени едно спрямо друго в направление, перпендикулярно спрямо чертежа, така че дори по-горно тяло да започне да се търкаля по-рано, то няма да се удари в телата под него.

Част 2. (6 т.)

Парче тел с дължина $24\ \mathrm{cm}$ е огънато по средата под ъгъл $90^\circ$ , така че образува рамка с формата на латинската буква „L”. Едната половина на рамката се намира върху хоризонтална маса, а другата половина – виси надолу, както е показано на фиг. 1 (б). На какво максимално разстояние $x$ от ръба на масата може да бъде отместен върхът на рамката (вж. фигурата), без тя да се наклони или преобърне?

Вляво наклонена дъска с три тела; вдясно огъната на 90° тел, легнала върху маса, с означено разстояние x до ръба.

Решение

Задача 1. Равновесие и устойчивост

Част 1.

Центърът на тежестта на тяло със сечение правилен многоъгълник се намира в геометричния му център. [0,5 т] Тялото започва да се търкаля, когато вертикалната линия, минаваща през центъра му, пресече предния му ръб. [1 т] Както се вижда от фигурата, за тяло със сечение правилен шестоъгълник (гайката) това става при ъгъл на наклона $30^\circ$ , за куба – при ъгъл $45^\circ$ , а за триъгълната призма – при ъгъл $60^\circ$ .

Три чертежа на наклонена дъска с шестоъгълник, квадрат и триъгълник и означени ъгли 30°, 45° и 60°.

По 0,5 т за всеки коректен чертеж и правилно определен ъгъл, общо [1,5 т]

Следователно телата ще започнат да се търкалят в реда: 1 – гайката, 2 – кубчето, 3 – призмата. [1 т]

Част 2.

Известно е, че потенциалната енергия на тяло е $mgh_{\text{цт}}$ , където $h_{\text{цт}}$ е височината на неговия център на тежестта. [1 т] Ако m е общата маса на рамката, всяко от рамената ѝ има маса m/2. [0,5 т] Центърът на тежестта на всяко от рамената е по средата на рамото, т.е. на разстояние $6\ \mathrm{cm}$ от върха на рамката. [0,5 т] В положението, в което е поставена рамката, едното ѝ рамо е хоризонтално, т.е. на нулева височина върху масата. Другото рамо е вертикално и неговият център на тежестта е на височина $-6\ \mathrm{cm}$ , т.е. на $6\ \mathrm{cm}$ под нулевото ниво. Затова пълната потенциална енергия на рамката е:

E_{\text{п}} = \left(\frac{m}{2}\right) g \cdot 0\ \mathrm{cm} - \left(\frac{m}{2}\right) g \cdot 6\ \mathrm{cm} = -mg \cdot 3\ \mathrm{cm}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Оттук се вижда, че центърът на тежестта на цялата рамка е на височина $-3\ \mathrm{cm}$ , т.е. на $3\ \mathrm{cm}$ под хоризонталното рамо. [1,0 т] Но от симетрията на рамката следва, че центърът на тежестта се намира на същото разстояние $3\ \mathrm{cm}$ и от вертикалното рамо. [0,5 т]

За всеки алтернативен метод за определяне на положението на центъра на тежестта се дават общо 4,5 точки. Например, ученикът може да се досети и обоснове, че центърът на тежестта на рамката разполвява отсечката, свързваща средите на двете рамена (2,5 т) и следователно се намира на равни разстояниия – по 3 cm от рамената (2,0 т).

Рамката ще се наклони или преобърне, когато центърът ѝ на тежестта се окаже на една вертикална линия с ръба на масата. [0,5 т] Очевидно в този случай:

x = 3\ \mathrm{cm}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

Оригинал в Архива: NOF3_2023_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2023_8solutions.pdf