НОФ 2023, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Динамика

• а) $a = \left(1 - \frac{m_1}{m_2}\right)g,\qquad f_1 = T = m_1 g$

  Ускорението е насочено надолу; силата на триене върху шайбата е равна на силата на опън на шнура.

• б) $a_1 = \frac{(m_1 - m_2)g + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$

• в) $f_2 = \frac{m_1 m_2 (2g - a_2)}{m_1 + m_2}$

а) Уравнението на движение на шайбата е

[1 т.]

където $f_1$ е силата на триене, която действа на шайбата. По третия принцип шайбата действа на шнура със същата по големина сила, но с противоположна посока, т. е. имаме $f_1 = T$ [0,5 т.], където $T$ е силата на опън. Тъй като тялото с маса $m_1$ е неподвижно –

[0,5 т.]

намираме

[1 т.]

б) Ще запишем уравненията на движение спрямо неподвижната макара. За тялото с маса $m_1$ имаме

[1 т.]

Тъй като всяка точка от шнура се движи с ускорение $a_1$ нагоре спрямо неподвижната макара, а шайбата се движи с ускорение $a_2$ надолу спрямо шнура, ускорението на шайбата спрямо макарата е $a' = a_2 - a_1$ [1 т.]. Следователно можем да запишем

[1 т.]

Освен това имаме $T = f_2$ [0,5 т.]. От двете уравнения намираме

[1 т.]

в) Тъй като силата на триене се определя с равенството

[1 т.]

след заместване на $a_1$ получаваме

[1,5 т.]