Съдържание

НОФ 2024, I кръг (общински), 11. клас — Задача 1. Теглилки и макара

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Общински кръг на олимпиадата по физика 2024 — тема за 11. клас (СМГ „Паисий Хилендарски“) · 4 януари 2024 г. · 10 т.

Условие

На единия край на леко неразтегливо въже е окачена теглилка с неизвестна маса $m_1$ , а другият край е оставен свободен. Въжето се намотава върху неподвижна лека макара, като теглилката се намира на неизвестна височина $h$ над земята, както е показано на Фигура 1.

Системата се пуска да пада под действие на земното ускорение, което в тази задача се приема за $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Оказва се, че теглилката достига земята със скорост $v_0 = 4\ \mathrm{m/s}$ .

а) Намерете времето $t$ за падане на теглилката. [1 т.]

б) Намерете началната височина на теглилката $h$ . [2 т.]

в) Сега на другия край на въжето се окачва друга теглилка с неизвестна маса $m_2$ . Системата отново се намотава на макарата, като първата теглилка отново е на $h$ над земята, както е показано на Фигура 2. Системата се освобождава, и този път първата теглилка достига земята със скорост $v = 2\ \mathrm{m/s}$ .

Запазва ли се импулсът на системата при това движение и защо? [1 т.]

г) Запазва ли се механичната енергия на системата при това движение и защо? [1 т.]

д) Намерете отношението на масите $m_2/m_1$ . [4 т.]

е) Ако върху по-леката теглилка бяхме залепили парче дъвка с маса $m = 20\ \mathrm{g}$ , системата върху макарата щеше да остане в покой.

Същата макара, но сега на левия край на въжето виси теглилка $m_2$, а на десния — теглилка $m_1$ на височина $h$ над земята; стрелка $g$ сочи надолу. — Фигура 2: на свободния край на въжето е окачена втора теглилка с маса $m_2$ ; първата теглилка отново е на височина $h$ над земята.

Намерете масите $m_1$ и $m_2$ . [1 т.]

Макара с преметнато въже; отдясно виси теглилка $m_1$ на височина $h$ над земята, отляво свободният край на въжето виси надолу; стрелка $g$ сочи надолу. — Фигура 1: теглилка с маса $m_1$ на височина $h$ над земята, окачена на въже, преметнато през неподвижната лека макара; другият край на въжето е свободен.

Отговори

Решение

а) $t = \frac{v_0}{g} = \boxed{0.4\ \mathrm{s}}$ [1 т.]

б) $h = \frac{gt^2}{2} = \frac{v_0^2}{2g} = \boxed{0.8\ \mathrm{m}}$ [2 т.]

в) $\boxed{\text{Не,}}$ защото по вертикалата действа външна гравитационна сила. Тя не се компенсира от реакцията на опората при макарата. [1 т.]

г) $\boxed{\text{Да,}}$ защото само гравитацията извършва работа, а тя е включена в механичната енергия посредством съответната гравитационна потенциална енергия. [1 т.]

д) Избираме нулево ниво на потенциалната енергия, така че тя да е нула. Тъй като системата отначало е в покой, началната механична енергия тогава също е нула. Тя се запазва, така че ще е толкова и при достигането на земята. [1 т.]

Нишката е опъната, при което преместванията и скоростите на двете трупчета са еднакви. При достигане на земята преместването им е $h$ (надолу за дясното, нагоре за лявото), а скоростта им е $v$ . Потенциалната енергия на системата става $(m_2 - m_1)gh$ [0.5 т.], а кинетичната енергия става $\frac{m_1v^2}{2} + \frac{m_2v^2}{2}$ [0.5 т.]. Съответно

\left(m_2 - m_1\right)gh + \frac{\left(m_1 + m_2\right)v^2}{2} = 0,

v^2 = 2gh\cdot\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = v_0^2\cdot\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2},

k \equiv \frac{m_2}{m_1}, \qquad \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 = \frac{1-k}{1+k}, \qquad k = \frac{1-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2}{1+\left(\frac{v}{v_0}\right)^2} = \boxed{0.6.} \quad \textbf{[2 т.]}

Правилни динамични решения също получават пълен брой точки.

е) Ясно е, че $m = m_1 - m_2$ . Тогава

m_1 = \frac{m}{1-k} = \boxed{50\ \mathrm{g},} \qquad m_2 = \frac{km}{1-k} = \boxed{30\ \mathrm{g}.} \quad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: 11_zad.pdf · официални решения: 11_resh.pdf