Общински кръг на олимпиадата по физика 2024 — тема за 11. клас (СМГ „Паисий Хилендарски“) · 4 януари 2024 г. · 10 т.
Условие
Сферична планета се състои от ядро с радиус R′=3000km и мантия, простираща се между радиуси R′=3000km и R=6400km. Ядрото има плътност ρ′=9000kg/m3, а мантията има плътност ρ=4000kg/m3.
а) Намерете масата на планетата M. Ако не може да решите тази подточка, продължете решението си със стойността M=6×1024kg (това не е непременно правилният отговор на подточката). [2 т.]
б) Космически кораб се движи по кръгова орбита точно над повърхността на планетата.
Намерете гравитационното ускорение a, което корабът изпитва поради планетата. Гравитационната константа е γ=6.67×10−11kg−1m3s−2. [2 т.]
в) Намерете скоростта на кораба v. [2 т.]
г) Намерете работата A, която двигателите на кораба трябва да извършат, за да се отдалечи на безкрайност спрямо планетата. Масата на кораба е m=9×103kg. [2 т.]
д) Друг космически кораб, обикалящ из Слънчевата система, се намира на разстояние r0=1.5×108km от Слънцето. Скоростта му е v0=35km/s спрямо Слънцето, насочена радиално (т.е. право навън). Масата на Слънцето е M⊙=2×1030kg.
На какво разстояние r от Слънцето скоростта на този кораб ще стане нула? [2 т.]
Отговори
а)M=34π(ρ(R3−R′3)+ρ′R′3)=5×1024kg
б)a=R2γM=8.1m/s2
в)v=RγM=7.2km/s
г)A=2RγMm=2.3×1011J
Допускът е 0.1 от порядъка на отговора; типичните ученически пресмятания дават между 2.2×1011 и 2.4×1011 J.
д)2v02−r0γM⊙=−rγM⊙⇒r=4.8×108km
Решение
а)M=34π(ρ(R3−R′3)+ρ′R′3)=5×1024kg.[2 т.]
б)a=R2γM=8.1m/s2.[2 т.]
в) От a=Rv2[1 т.] намираме v=RγM=7.2km/s.[1 т.]
г) Работата трябва да приведе пълната механична енергия до положителна [1 т.]. В началото енергията е E=2mv2−RγMm=−2RγMm. Затова работата е A=2RγMm=2.3×1011J.[1 т.]
д) От ЗЗЕ 2v2−r0γM⊙=0−rγM⊙[1.5 т.]. Пресмятането дава r=4.8×108km.[0.5 т.]