Съдържание

НОФ 2024, II кръг (областен), 11. клас — Задача 3. Кръгови траектории

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Областен кръг на олимпиадата по физика 2024, тема за V състезателна група (учебно съдържание за 11. клас) · 18 февруари 2024 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Общи указания от темата: „Във всички задачи може да приемете, че земното ускорение е известно и има стойност $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .“ и „При решение на задачите, ако не разполагате с подходящ калкулатор, може да използвате таблицата на тригонометричните функции, дадена на трета страница.“

Условие

Малко топче (материална точка) с маса $m$ е окачено на лека и неразтеглива нишка с дължина $\ell$ , закрепена неподвижно в точка $O$ . Земното ускорение $g$ се приема за дадено. В тази задача ще изследвате два различни вида движение на топчето.

Две схеми: вляво (а) конично махало — нишка ℓ от точката O под ъгъл α към вертикалата, топче върху пунктирана хоризонтална окръжност с център O'; вдясно (б) нишка ℓ надолу от O до топче в най-ниската точка с хоризонтална скорост v1 по пунктирана вертикална окръжност. — Фиг. 3. а) Топчето обикаля по хоризонтална окръжност около вертикалната ос $OO'$ , като нишката сключва ъгъл $\alpha$ с вертикалата; б) топчето описва вертикална окръжност около т. $O$ с начална скорост $\vec{v}_1$ от най-ниската точка.

а) i) Топчето е отклонено така, че нишката сключва ъгъл $\alpha$ с вертикалата, както е показано на фиг. 3, а.

Направете чертеж, на който да изобразите силите, действащи на топчето. [1 т.]

а) ii) Каква начална скорост $v_0$ трябва да бъде придадена на топчето в хоризонтално направление, перпендикулярно на чертежа, така че то да започне да обикаля по окръжност около вертикалната ос $OO'$ , минаваща през точката на окачване (вж. фиг. 3, а)? [3,5 т.]

а) iii) Колко ще бъде при това периодът $T$ на обикаляне по окръжността? [1 т.]

б) Махалото е поставено така, че топчето е в равновесие, т.е. вертикално под точката на окачване (фиг. 3, б). Колко е минималната начална скорост $v_1$ , която трябва да бъде придадена на топчето, за да опише вертикална окръжност около т. $O$ ? [4,5 т.]

Отговори

Решение

а) На топчето действат две сили – силата на тежестта $\vec{G}$ надолу, и силата на опън $\vec{R}$ на нишката към точката на окачване.

За всяка сила с правилно означена посока × 0,5 т; общо [1,0 т]

Когато обикаля по окръжност с радиус $r$ , топчето има центростремително (нормално) ускорение:

$(1)\qquad a_n = \dfrac{v_0^2}{r}$ [1,0 т]

Чертеж от решението: нишка ℓ от точката O под ъгъл α към вертикалата; в топчето са изобразени векторът на опъна R по нишката, тежестта G надолу и нормалното ускорение a_n, насочено хоризонтално към оста на разстояние r. — Силите $\vec{G}$ и $\vec{R}$ , действащи на топчето, и нормалното ускорение $\vec{a}_n$ към оста на въртене (към подусловие а).

в хоризонтална посока – към оста на въртене. Пълен брой точки се дава само ако е даден изразът за ускорението и е указана неговата посока – словесно или на чертеж. Ако посоката не е дадена, а е написана само формула, се отнемат 0,5 т.

Радиусът на окръжността се дава с израза:

$(2)\qquad r = \ell\sin\alpha.$ [0,5 т]

Въвеждаме координатна система с хоризонтална ос X в посока от топчето към оста на въртене и вертикална ос Y. Вторият принцип на механиката $m\vec{a}_n = \vec{G} + \vec{R}$ , записан в проекции по осите на координатната система, има вида:

$(3)\qquad \dfrac{mv_0^2}{\ell\sin\alpha} = R\sin\alpha \quad (\text{по } X);$ [0,5 т]

$(4)\qquad mg - R\cos\alpha = 0 \quad (\text{по } Y).$ [0,5 т]

Пълният брой точки за (3) и (4) се дава и при друг избор на координатна система, стига векторите на силите и ускорението да са правилно проектирани.

След кратки алгебрични преобразувания на уравнения (3) и (4), намираме търсената скорост:

$(5)\qquad v_0 = \sin\alpha\sqrt{\dfrac{g\ell}{\cos\alpha}}.$ [1,0 т]

Обиколката на окръжността е:

$(6)\qquad s = 2\pi r = 2\pi\ell\sin\alpha.$ [0,5 т]

Следователно периодът на обикаляне е:

$(7)\qquad T = \dfrac{s}{v_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell\cos\alpha}{g}}.$ [0,5 т]

б) Нека $v_2$ е скоростта на топчето, когато минава през най-високата точка от окръжността, т.е. вертикално над точката на окачване. От закона за запазване на механичната енергия имаме:

$(8)\qquad \dfrac{mv_1^2}{2} = \dfrac{mv_2^2}{2} + 2mg\ell\,.$ [1,0 т]

В най-високата точка топчето има само нормално ускорение с посока към т. $O$ :

$(9)\qquad a_n = \dfrac{v_2^2}{\ell}\,.$ [0,5 т]

Чертеж от решението: пунктирана вертикална окръжност с център O, нишка ℓ нагоре и надолу от центъра; в най-долната точка хоризонтален вектор v1, в най-горната — вектор v2 и ускорение a_n, насочено надолу към O. — Вертикалната окръжност: скорост $\vec{v}_1$ в най-ниската точка и $\vec{v}_2$ с нормално ускорение $\vec{a}_n$ в най-високата точка (към подусловие б).

Точките се дават само ако е даден изразът за ускорението и е указана неговата посока – словесно или на чертеж.

В най-високата точка силите $\vec{G}$ и $\vec{R}$ действат в посока към т. $O$ – словесно обяснение или чертеж. [0,5 т]

От II принцип на механиката:

$(10)\qquad m\dfrac{v_2^2}{\ell} = mg + R\,.$ [0,5 т]

За да опише топчето окръжност, нишката през цялото време трябва да бъде опъната, т.е. $R > 0$ . Следователно минималната възможна скорост съответства на случая, когато в момента на минаване през горно положение:

$(11)\qquad R = 0.$ [1,0 т]

В този случай скоростта на топчето в най-високата точка е:

$(12)\qquad v_2 = \sqrt{g\ell}.$

Като заместим тази стойност в закона за запазване на механичната енергия, получаваме търсената начална скорост:

$(13)\qquad v_1 = \sqrt{5gl}\,.$ [1,0 т]

Оригинал в Архива: NOF2_2024_11problems.pdf · официални решения: NOF2_2024_11solutions.pdf