Съдържание

НОФ 2024, II кръг (областен), 8. клас — Задача 2. Две тела върху хоризонтална равнина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Олимпиада по физика 2024, областен кръг, тема за VIII клас (втора състезателна група) · 18 февруари 2024 г. · 10 т.

Условие

На фигурата вдясно са показани различни положения на две тела с маси $m_1$ и $m_2$ , които се намират върху хоризонтална равнина. Коефициентът на триене между тяло с маса $m_1$ и равнината е $k_1$ , а този между тяло с маса $m_2$ и равнината е $k_2$ . Коефициентът на триене между двете тела е $k$ . И в двата случая силата $F$ е хоризонтална, постоянна и е подбрана така, че телата са неподвижни едно спрямо друго.

Две схеми на две тела върху хоризонтална равнина с хоризонтална сила F — Случай (1): телата $m_1$ и $m_2$ са едно до друго върху равнината, силата $F$ действа върху $m_1$ . Случай (2): тялото $m_2$ е върху $m_1$ , силата $F$ действа върху $m_2$ .

2.1. Определете ускорението им $a$ спрямо равнината, ако знаете, че $m_1 > m_2$ и $k_1 < k_2$ . [7,5 т.]

2.2. Определете минималния коефициент $k$ , при който телата ще се движат по описания в (2) начин. [2,5 т.]

Отговори

Решение

Решение 2.1. Нека означим с $N$ силата, с която равнината действа на тяло с маса $m$ , с $R$ силата на взаимодействие между двете тела, а с $f$ силата на триене действаща на съответното тяло. Сили с долен индекс 1 ще се отнасят за тяло с маса $m_1$ , съответно сили с долен индекс 2 ще се отнасят за тяло с маса $m_2$ . Записваме законите на Нютон за всеки от случаите и намираме търсените ускорения:

Диаграми на силите за случай 1 — Силите върху телата в случай (1): вляво тяло 1 ( $N_1$ , $m_1g$ , $F$ , $f_1$ , $R_1$ ), вдясно тяло 2 ( $N_2$ , $m_2g$ , $f_2$ , $R_2$ ).

(1) случай:

за тяло 1: $F - f_1 - R_1 = m_1a$ (0.5 т.)
за тяло 1: $N_1 = m_1g$ (0.5 т.)
за тяло 2: $R_2 - f_2 = m_2a$ (0.5 т.)
за тяло 2: $N_2 = m_2g$ (0.5 т.)
$R_1 = R_2$ , $f_1 = k_1N_1$ , $f_2 = k_2N_2$ (1 т.)
$a = \dfrac{F - (k_1m_1 - k_2m_2)g}{m_1 + m_2}$ (1 т.)

(2) случай:

по условие знаем, че телата се движат с едно и също ускорение (неподвижни са едно спрямо друго), тогава за да определим ускорението може да ги разглеждаме като едно тяло с маса $m_1 + m_1$ ; (1 т.)
$F - f_1 = (m_1 + m_2)a$ ; (0.5 т.)
$N = (m_1 + m_2)g$ , $f_1 = k_1N$ ; (1 т.)
$a = \dfrac{F - k_1(m_1 + m_2)g}{m_1 + m_2}$ . (1 т.)

Диаграми на силите за случай 2 — Силите в случай (2): вляво системата от двете тела ( $N$ , $(m_1+m_2)g$ , $F$ , $f_1$ ), вдясно тяло 2 ( $R_2$ , $m_2g$ , $F$ , $f_2$ ).

Забележка: случай (2) може да се реши и като се запишат всички сили действащи на всяко от телата поотделно. За това и други алтернативни решения се дават същия брой точки (3.5 т.).

Решение 2.2. За да определим минималния коефициент на триене между двете тела записваме втория закон на Нютон само за второто тяло:

$F - f_2 = m_2a$ , където $f_2 = kR_2$ ; (1 т.)
$R_2 = m_2g$ . (0.5 т.)

Изразяваме $k = \dfrac{F}{m_2g} - \dfrac{a}{g}$ и заместваме полученото по-горе ускорение:

k \ge \frac{F}{m_2g} - \frac{F}{(m_1+m_2)g} + k_1 = \frac{m_1}{m_2}\,\frac{F}{(m_1+m_2)g} + k_1 = \frac{F}{m_2g}\,\frac{1}{\left(1 + m_2/m_1\right)} + k_1.

(1 т.)

Оригинал в Архива: NOF2_2024_8problems.pdf · официални решения: NOF2_2024_8solutions.pdf