Съдържание

НОФ 2024, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1. Свързани тела

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Олимпиада по физика 2024, областен кръг — тема за 9. клас (трета състезателна група) · 18 февруари 2024 г. · 10 т.

Условие

През неподвижна макара, окачена на хоризонтална греда, е прекаран неразтеглив шнур с пренебрежима маса. В двата края на шнура са окачени еднакви тела, всяко от които има маса $M$ . Върху едно от телата се поставя тяло с маса $m < M$ и системата се задвижва (фиг. 1). Определете:

Неподвижна макара, окачена на хоризонтална греда; през нея е прекаран шнур с две тела с маса M, а върху дясното е поставено тяло с маса m. — Фиг. 1. Макара на хоризонтална греда с два еднакви товара $M$ и допълнително тяло $m$ върху десния товар.

а) ускорението $a$ на телата; [4 т.]

б) силата на опън, с която шнурът действа на всяко едно от телата; [1 т.]

в) силата на натиск $N$ , с която тялото с маса $m$ действа на тялото с маса $M$ ; [2 т.]

г) силата $F$ , с която системата действа на гредата. Сравнете силата $F$ със силата $P = (2M + m)g$ – общото тегло на телата, ако бяха неподвижно окачени на гредата, и направете съответния извод. Приемете земното ускорение $g$ за известно. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Шнурът действа на телата с маса $M$ и $M + m$ с еднакви сили $T$ , тъй като масата му е пренебрежима. [0,5 т.] Телата се движат с едно и също ускорение $a$ – лявото нагоре, а дясното надолу. [0,5 т.] Тогава уравненията на движение са:

(1)\qquad Ma = T - Mg,

[1 т.]

(2)\qquad (M + m)a = (M + m)g - T.

[1 т.]

Като съберем почленно уравненията (1) и (2), намираме

(3)\qquad a = \frac{m}{2M + m}\,g.

[1 т.]

б) За намиране на силата на опън $T$ от уравнение (2) изваждаме (1), при което получаваме

2T = (2M + m)g - ma.

[0,5 т.]

След като заместим ускорението с израза (3), определяме

T = \frac{2M(M + m)}{2M + m}\,g.

[0,5 т.]

в) Тялото с маса $m$ се движи с ускорение $a$ под действие на силата на тежестта $mg$ и силата на реакция $R$ , като уравнението на движение е

ma = mg - R.

[1 т.]

Тъй като $N = R$ (трети принцип на динамиката), намираме.

N = m(g - a),

[0,5 т.]

което води до следния израз

N = \frac{2Mm}{2M + m}\,g.

[0,5 т.]

г) Шнурът действа върху макарата със сила $2T$ , което означава, че силата $F = 2T$ , [0,5 т.] Тогава имаме

F = \frac{4M(M + m)}{2M + m}\,g.

[1 т.]

За да сравним силите $P$ и $F$ , пресмятаме разликата

P - F = (2M + m)g - \frac{4M(M + m)}{2M + m}\,g = \frac{m^2}{2M + m}\,g > 0.

[1 т.]

Следователно движещата се система (фиг. 1) действа върху гредата с по-малка сила, отколкото неподвижно окачени тела с обща маса $2M + m$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2024_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2024_9solutions.pdf