Съдържание

НОФ 2024, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Вътрешна енергия на газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Национална олимпиада по физика 2024, национален кръг, тема за трета състезателна група (9. клас) · 29 март 2024 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 3.1 е показана схема на експериментална постановка за изследване на топлинните свойства на газове. В дълъг цилиндър с площ на основата $S = 5{,}0\ \mathrm{cm}^2$ се намира леко подвижно бутало с пренебрежима маса, което се допира плътно до стените на цилиндъра. В цилиндъра са монтирани електрически нагревател със съпротивление $R = 480\ \Omega$ , който може да бъде включен към източник на напрежение $U = 12\ \mathrm{V}$ , и термометър, с чиято помощ се измерва температурата на газа в цилиндъра. Обемът на нагревателя и на термометъра е пренебрежимо малък. Топлообменът между стените на цилиндъра и околния въздух не се отчита.

Вертикален цилиндър с бутало отгоре (означено S), под него обем V0, електрически нагревател на дъното, свързан към източник, и термометър, влизащ отстрани.

Графика T(t): линеен ръст от 300 K при t=0 до 480 K при t=5 min, след което с по-малък наклон до 720 K при t=15 min.

Първоначално под буталото се намира хелий с обем $V_0 = 1\ \ell$ , температура $T_0 = 300\ \mathrm{K}$ и налягане $p_0 = 1{,}0.10^5\ \mathrm{Pa}$ , равно на налягането на външния въздух. Нагревателят е включен към източника на напрежение в продължение на 15 минути. На фиг. 3.2 е показана графика на зависимостта на температурата T на хелия от времето t след включването на нагревателя.

а) Оказва се, че до момента $t_1 = 5\ \mathrm{min}$ буталото остава неподвижно в цилиндъра. Колко е максималната сила на триене $f_\mathrm{max}$ между буталото и стените на цилиндъра? [4,5 т.]

б) След петата минута газът започва да се разширява, като много бавно избутва буталото към края на тръбата. Колко е обемът $V_2$ на газа в крайния момент $t_2 = 15\ \mathrm{min}$ ? [2 т.]

в) Колко е промяната $\Delta U$ на вътрешната енергия на хелия за цялото време, през което е включен нагревателят? [3,5 т.]

Отговори

Решение

а) До момента $t_1$ процесът е изохорен, т.е. при постоянен обем, понеже буталото е неподвижно. [0,5 т] В момента $t_1$ температурата е $T_1 = 480\ \mathrm{K}$ . [0,5 т] От уравнението за изохорен процес:

(1)\qquad \frac{p_1}{p_0} = \frac{T_1}{T_0} \qquad \textbf{[0,5 т]}

намираме налягането, при което буталото започва да се движи:

(2)\qquad p_1 = \frac{T_1}{T_0}p_0 = 1{,}6.10^5\ \mathrm{Pa}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

В този момент буталото е в равновесие под действие на три сили, чиито посоки са изобразени на чертежа: натискът $p_1 S$ на хелия в посока нагоре [0,5 т], натискът $p_0 S$ на външния въздух с посока надолу [0,5 т] и силата на триене $f_\mathrm{max}$ също с посока надолу [0,5 т]. Точките се дават, ако силите са изобразени на чертгеж с правилни посоки или са описани словесно.

Схема на буталото в цилиндъра със стрелка нагоре p1S отдолу и стрелки надолу p0S и f_max отгоре.

От условието за равновесие:

(3)\qquad f_\mathrm{max} = p_1 S - p_0 S = \frac{(T_1 - T_0)p_0 S}{T_0} = 30\ \mathrm{N}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

(0,5 т за условието за равновесие и 0,5 т за числения отговор)

б) Понеже буталото се движи бавно, може да приемем, че трите сили остават в равновесие. Това означава, че от момента 1 да момента 2 налягането на газа в цилиндъра е постоянно, т.е. процесът е изобарен. [0,5 т] В момента 2 температурата на газа в цилиндъра е $T_2 = 720\ \mathrm{K}$ [0,5 т]. От уравнението за изобарен процес:

(4)\qquad \frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1} \qquad \textbf{[0,5 т]}

и като вземем предвид, че $V_1 = V_0$ , определяме:

(5)\qquad V_2 = \frac{V_0 T_2}{T_1} = 1{,}5\ \ell. \qquad \textbf{[0,5 т]}

в) Общото количество топлина, което газът приема от нагревателя за целия интервал от време, е:

(6)\qquad Q = I^2 R t_2 = \frac{U^2}{R}t_2 = \frac{(12\ \mathrm{V})^2 \cdot 900\ \mathrm{s}}{480\ \Omega} = 270\ \mathrm{J} \qquad \textbf{[1,0 т]}

Работата, която газът извършва, докато се разшири до крайния обем, е:

(7)\qquad A' = p_1(V_2 - V_0) = 1{,}6.10^5\ \mathrm{Pa}\,.\;5.10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 80\ \mathrm{J}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

От I принцип на термодинамиката:

(8)\qquad Q = \Delta U + A' \qquad \textbf{[1,0 т]}

намираме:

(9)\qquad \Delta U = Q - A' = 250\ \mathrm{J}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Топлинни явления · Електричество · Идеални газове · Първи принцип на термодинамиката · Електрична мощност и нагряване

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF3_2024_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2024_9solutions.pdf