НОФ 2024, IV кръг, петточково контролно — Задача 3. Газ от фонони

Контролна работа – 5 точки/50 минути

Условие

При ниски температури (около 30 K) термодинамичните свойства на диелектричен кристал се определят от хармоничните трептения на атомите. Те имат квантов характер и съответстват на разпространението в кристала на механични вълни със скорост $\upsilon = 5.10^{3}\ \mathrm{m/s}$. Съвкупността от трептящи атоми може да се замени с газ от фонони, които заемат обема на кристала $V$ при температура $T$. Енергията $\varepsilon$ и импулсът $p$ на фонона са свързани с равенството $\varepsilon = \upsilon p$.

а) За фононния газ намерете връзка между налягането $P$ и плътността на вътрешната енергия $u(T) = U/V$ при термодинамично равновесие. Приемете, че кристалът има формата на куб със страна $l$, като фононите взаимодействат чрез абсолютно еластични удари със стените на съда.

б) Намерете плътността на вътрешната енергия $u$ като функция на температурата $T$.

в) Като използвате съотношението за неопределеност $\Delta E\Delta t \sim \hbar$, изразете произволната константа в израза за $u$ чрез $\upsilon$ и подходящи фундаментални константи. Оценете стойността на тази константа.

Решение

---

Оригинал в Архива: k5_zad.pdf