Съдържание

НОФ 2025, II кръг (областен), 12. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Областен кръг на олимпиадата по физика, 15.02.2025 г. · Тема за 6. състезателна група (учебно съдържание за 12. клас) · 15 февруари 2025 г.

Внимание: Бележка към темата

В официалното решение на задача 3 има печатни неточности във формулите за L, A′ и A″; те са запазени в текста на решението.

Упътване.

Упътване. Дадените решения са примерни. Всяко обосновано алтернативно решение се оценява по критерии на областната комисия, като се спазва максималният брой точки по отделните подусловия на всяка задача.

Условие

Резервоар V₀, p₀ с отварящ се клапан към дълъг канал; сачма m до входа, дължина L под канала, сечение S при изхода и външно налягане p_A. — Фиг. 3

Задача 3. Пневматична пушка

На фиг. 3 е показана принципната схема на пневматичната пушка. Състои се от цилиндрична цев с площ на канала $S=3\ \mathrm{mm^2}$ , съединена с резервоар с обем $V_0=5\ \mathrm{cm^3}$ , който е пълен със сгъстен въздух под налягане $p_0=2{,}0\cdot10^5\mathrm{Pa}$ .

Другият край на канала на цевта е отворен към външния въздух, който се намира при нормално атмосферно налягане $p_A=1{,}0\cdot10^5\ \mathrm{Pa}$ . В канала на цевта, непосредствено след резервоара се намира оловна сачма с маса $m=50\ \mathrm{mg}$ . Тя се изстрелва, след като клапанът, затварящ резервоара със сгъстен въздух, бъде отворен при натискане на спусъка на пушката. Можете да приемете, че:

Въздухът е идеален газ с моларен топлинен капацитет при постоянен обем $C_V=\frac{5}{2}R$ .
Резервоарът и цевта не провеждат топлина.
Сачмата затваря плътно отвора на цевта, т.е. не пропуска въздух, и се движи в канала без триене.

а) Какъв вид термодинамичен процес – изобарен, изохорен, изотермен или адиабатен протича при разширяването на въздуха в цевта по време на изстрела? Дайте кратка обосновка (1–2 изречения) на вашия отговор. (1,0 т)

б) Дължината на цевта се подбира така, че сачмата да излезе от отвора с максимална възможна скорост. Колко е налягането на въздуха в цевта, когато сачмата достига максималната си скорост? (1,0 т)

в) Колко е дължината $L$ на цевта? (5,0 т)

В следващите подточки не е нужно да запишете аналитичен (буквен) израз за търсената величина, а единствено да получите чрез аргументирани пресмятания числената ѝ стойност.

г) Колко е работата $A^\prime$ , която извършва въздухът в цевта, докато сачмата достигне края на цевта? (1,5 т)

д) С каква скорост $v$ сачмата излиза от цевта? (1,5 т)

Отговори

Решение

Задача 3. Пневматична пушка

а) Процесът е адиабатен (0,5 т за посочване на верен отговор), защото въздухът в цевта не обменя топлина с околния въздух (0,5 т за обяснение).

б) Сачмата се ускорява, докато налягането в цевта е по-високо от външното налягане (0,5 т). При адиабатно разширение налягането на въздуха в цевта намалява. Следователно сачмата достига максимална скорост, когато налягането в цевта стане равно на атмосферното налягане $p_A=1{,}0\cdot10^5\ \mathrm{Pa}$ (0,5 т).

в) При адиабатен процес е в сила уравнението:

p_0V_0^\gamma=p_1V_1^\gamma,

(1,0 т)

където $p_0$ и $V_0$ са съответно налягането и обема на въздуха в резервоара преди изстрела, $p_1=p_A$ е налягането в края на процеса, а:

V_1=V_0+LS

(0,5 т)

е обемът на въздуха в цевта, когато сачмата достигне изходния отвор. Моларният топлинен капацитет на въздуха при постоянно налягане е:

C_p=C_V+R=\frac{7}{2}R,

(1,0 т)

а показателят на адиабатата е:

\gamma=\frac{C_p}{C_V}=\frac{7}{5}.

(1,0 т)

От уравнението за адиабатния процес получаваме за търсената дължина:

L=\frac{V}{S}\left[\left(\frac{p_0}{p_A}\right)^{5/7}-1\right]

(1,0 т)

Като заместим с числените данни намираме:

L=\frac{5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3}}{3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^2}}\left[2^{\frac{5}{7}}-1\right]\approx1{,}07\ \mathrm{m}.

(0,5 т)

За верен се приема всеки числен резултат, който се закръгля към 1,1 m.

г) Работата на газ при адиабатен процес е изцяло за сметка на намаляване на вътрешната енергия на газа:

A^\prime=-\Delta U.

(0,5 т)

Вътрешната енергия на $n$ мола идеален газ е:

U=\frac{s}{2}nRT=nC_VT,

където $s$ е броят на степените на свобода та молекулите. Като вземем предвид, че $C_V=5/2R$ , т.е. $s=5$ и като използваме уравнението $pV=nRT$ на Клапейрон-Менделеев, намираме:

U=\frac{5}{2}pV.

(0,3 т)

Следователно работата, извършена от въздуха в цевта е:

A^\prime=\frac{5}{2}(p_0V_0-p_1V_1).

(0,2 т)

Като вземем предвид, че $p_1=p_A=1{,}0\cdot10^5\ \mathrm{Pa}$ и $V_1=V_0+LS\approx8{,}21\ \mathrm{cm^3}=8{,}21\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3}$ , намираме:

A^\prime=2{,}5\cdot(2{,}0\cdot10^5\ \mathrm{Pa}\cdot5\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3}V_0-1{,}0\cdot10^5\mathrm{Pa}\cdot8{,}21\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3})\approx0{,}447\ \mathrm{J}.

(0,5 т)

За верен се приема всеки отговор, който се закръгля към 0,45 J.

д) Освен въздухът в цевта, върху сачмата извършва механична работа и външният атмосферен въздух:

A^{\prime\prime}=-p_0\Delta V=1{,}0\cdot10^5\ \mathrm{Pa}\cdot(8{,}21\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3}-5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3})=-0{,}321\ \mathrm{J}

(0,5 т)

Следователно общата работа, извършена от външни сили върху сачмата, е:

A=A^\prime+A^{\prime\prime}=0{,}126\ \mathrm{J}

(0,2 т)

От връзката $A=\Delta E_k$ между работата на външните сили и промяната на кинетичната енергия имаме:

A=\frac{mv^2}{2}

(0,3 т)

и окончателно:

v=\sqrt{\frac{2A}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}126\ \mathrm{J}}{5{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{kg}}}\approx71\ \mathrm{m/s}.

(0,5 т)

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Топлинни явления · Механика · Идеални газове · Първи принцип на термодинамиката · Работа и енергия

Предпоставки: Гимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF2_2025_12problems.pdf · официални решения: NOF2_2025_12solutions.pdf