Съдържание

НОФ 2025, II кръг (областен), 12. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Областен кръг на олимпиадата по физика, 15.02.2025 г. · Тема за 6. състезателна група (учебно съдържание за 12. клас) · 15 февруари 2025 г.

Внимание: Бележка към темата

В официалното решение на задача 3 има печатни неточности във формулите за L, A′ и A″; те са запазени в текста на решението.

Упътване.

Упътване. Дадените решения са примерни. Всяко обосновано алтернативно решение се оценява по критерии на областната комисия, като се спазва максималният брой точки по отделните подусловия на всяка задача.

Условие

Задача 2. Зареждане на кондензатор

На фиг. 2 е дадена схема на електрическа верига, с чиято помощ кондензатор може да бъде зареден до напрежение, по-голямо от напрежението на източника. Тя се състои се от батерия с постоянно ЕДН $\mathcal{E}=9{,}0\ \mathrm{V}$ , ключ $K$ , намотка с индуктивност $L=6{,}0\ \mathrm{mH}$ , кондензатор с капацитет $C=15\ \mathrm{\mu F}$ и диод $D$ , който не позволява на кондензатора да се разреди, след като достигне максималния си заряд. Съпротивлението на ключа, на намотката и на съединителните проводници се пренебрегва.

Последователна затворена по контур схема с кондензатор C и намотка L на горния клон и диод D, батерия с означена ЕДН и отворен ключ K на долния клон. — Фиг. 2

Диодът е идеален, т.е. има нулево съпротивление в права посока и безкрайно съпротивление – в обратна посока. Първоначално ключът е отворен, а кондензаторът – напълно разреден. След затваряне на ключа, кондензаторът започва да се зарежда.

а) Нека $q$ е зарядът, натрупан върху кондензатора в момент, преди кондензаторът да се е заредил до максималното си напрежение. Получете израз за електричната потенциална енергия $W_e$ на кондензатора в този момент. (2,5 т)

б) Получете израз за енергията $W_m$ на магнитното поле в намотката и за тока $I$ , който тече във веригата в този момент. (4,0 т)

в) Колко е максималният ток $I_{\max}$ , който протича във веригата, докато се зарежда кондензаторът? (1,5 т)

г) До какво максимално напрежение $U_{\max}$ се зарежда кондензаторът? (2,0 т)

Отговори

Решение

Задача 2. Зареждане на кондензатор

а) Енергията на зареден кондензатор е:

W_e=\frac{1}{2}CU^2.

(1,0 т)

Напрежението върху кондензатора е съответно:

U=\frac{q}{C}.

(1,0 т)

Следователно:

W_e=\frac{q^2}{2C}.

(0,5 т)

б) Когато през източника минава заряд, електродвижещите сили извършват работа:

A^*=\mathcal{E}q.

(1,0 т)

От закона за запазване на енергията следва, че тази работа се преобразува в електрична потенциална енергия на кондензатора и енергия на магнитното поле в намотката:

A^*=W_e+W_m.

(1,0 т)

Така за магнитната енергия получаваме следния израз:

W_m=\mathcal{E}q-\frac{q^2}{2C}.

(0,5 т)

Понеже:

W_m=\frac{LI^2}{2},

(1,0 т)

Получаваме:

I=\sqrt{\frac{2C\mathcal{E}q-q^2}{LC}}.

(0,5 т)

в) От получения израз следва, че най-голям ток протича в момента, когато през веригата е минал заряд:

q=C\mathcal{E}.

(0,5 т)

Така намираме:

I_{\max}=\mathcal{E}\sqrt{\frac{C}{L}}=9\ \mathrm{V}\cdot\sqrt{\frac{15\cdot10^{-6}\ \mathrm{F}}{6\cdot10^{-3}\ \mathrm{H}}}=0{,}45\ \mathrm{A}.

(1,0 т)

(0,5 точки за буквен отговор + 0,5 точки за числена стойност)

г) В момента, когато кондензаторът се зареди максимално, токът във веригата става $I=0$ . Следователно в този момент зарядът на кондензатора е:

q_{\max}=2C\mathcal{E},

(1,0 т)

а напрежението съответно:

U_{\max}=\frac{q_{\max}}{C}=2\mathcal{E}=18\ \mathrm{V}.

(1,0 т)

(0,5 точки за буквен отговор + 0,5 точки за числена стойност)

Теми и трудност

Оценена трудност: 3/5.

Електричество · Магнетизъм и индукция · Кондензатори и диелектрици · Индуктивност

Предпоставки: Гимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF2_2025_12problems.pdf · официални решения: NOF2_2025_12solutions.pdf