НОФ 2025, II кръг (областен), 9. клас — Задача 3. Хидростатика

• а) ρд = 625 kg/m³; 4ρд = 2500 kg/m³.
• б) x = 1,5 cm; T ≈ 0,96 N.
• в) 3 m/s²

а) От условието за равновесие на системата преди прерязването на нишката следва, че сумарната сила на тежестта се уравновесява от сумарната сила на Архимед: $\rho_{\text{д}}\ell^3g+\frac{\rho_{\text{д}}\ell^3g}{2}=\rho_{\text{в}}\ell^2(\ell-x)g+\frac{\rho_{\text{в}}\ell^3g}{8}$. [1,5 т.] След прерязването на нишката равновесието на дървеното кубче води до условието $\rho_{\text{д}}\ell^3g=\rho_{\text{в}}\ell^2(\ell-2x)g$. [1 т.] Като заместим $x$ от второто уравнение в първото, ще получим, че $\rho_{\text{д}}=\frac{5\rho_{\text{в}}}{8}=625\ \mathrm{kg/m^3}$. [2 т.] Плътността на стъкленото кубче е $4\rho_{\text{д}}=\frac{5\rho_{\text{в}}}{2}=2500\ \mathrm{kg/m^3}$. [0,5 т.]

б) От условието за равновесие на дървеното кубче след прерязването на нишката (вж. предишното подусловие) се вижда, че $x=\frac{\ell}{2}\left(1-\frac{\rho_{\text{д}}}{\rho_{\text{в}}}\right)=\frac{3\ell}{16}=1{,}5\ \mathrm{cm}$. [1 т.] Силата на опън $T$ може да се намери от условието за равновесие на стъкленото кубче преди срязването на нишката: $\frac{\rho_{\text{д}}\ell^3g}{2}=\frac{\rho_{\text{в}}\ell^3g}{8}+T$. [1 т.] Следователно, $T=\frac{\ell^3g}{2}\left(\rho_{\text{д}}-\frac{\rho_{\text{в}}}{4}\right)=\frac{3\rho_{\text{в}}\ell^3g}{16}\approx 0{,}96\ \mathrm{N}$. [1 т.]

в) След прерязването на нишката, на дървеното кубче престава да действа силата на опън $T$. Оттук и от II принцип на Нютон, търсеното ускорение е $\frac{T}{\rho_{\text{д}}\ell^3}=\frac{3\rho_{\text{в}}g}{16\rho_{\text{д}}}=\frac{3g}{10}\approx 3\ \mathrm{m/s^2}$. [2 т.]