Съдържание

Условие Част 1. Плосък оптичен кабел (6,5 т.)Част 2. Нощна разходка (3,5 т.)Отговори Решение

НОФ 2025, III кръг (национален), 10. клас — Задача 2. Светлинни лъчи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. Казанлък, 25–27 април 2025 г. Тема за IV състезателна група (10. клас) · 25 април 2025 г.

Условие

Част 1. Плосък оптичен кабел (6,5 т.)

Във въздуха, близо до левия край на добре полирана стъклена пластина, се намира точков източник на светлина S, както е показано на фигурата. Пластината е с дебелина $H = 1$ cm и с дължина L = 100 cm. Светлината от източника пада върху лявата страна под всевъзможни ъгли. От дясната страна излизат както директно преминали през пластината лъчи, така и лъчи, претърпели многократно отражение от горната и долната повърхност.

Какъв е максималният брой отражения, които са претърпели лъчите, излизащи от дясната повърхност на пластинката. Показателя на пречупване на стъклото е n = 1,73.

Стъклена пластина с дебелина H и дължина L; отляво точков източник S, от който излизат лъчи, отразяващи се многократно от горната и долната повърхност; отдясно е нарисувано око.

Част 2. Нощна разходка (3,5 т.)

Иван се прибира вкъщи пеша като върви по тротоара с постоянна скорост $v$ . Височината на Иван е h. На разстояние l от ръба на тротоара се намира светещ уличен фенер Ф. Височината на фенера е H.

Тротоар, изобразен в перспектива: уличен фенер Ф с височина H на разстояние l от ръба на тротоара; човек с височина h върви със скорост v по тротоара, начало 0, ос x по ръба и сянка върху тротоара.

А) В каква посока и с каква скорост u се движи краят на сянката, която хвърля Иван върху тротоара. [3 т.]

Б) Начертайте графиката на зависимостта на скоростта u от координатата $x$ . Повърхността на тротоара е хоризонтална и неговият край е права линия. [0,5 т.]

Отговори

Решение

Част 1

Лява част на пластина с дебелина H: източник (звездичка) отляво, пречупен лъч под ъгъл β, ъгъл φ при долната повърхност, отражение от горната повърхност и хоризонтално разстояние Δl между отраженията.

Максималният ъгъл на падане на лъчите от източника върху лявата повърхност е $\alpha_{\max} = 90^{\circ}$ . От закона на Снелиус следва, че максималният ъгъл $\beta_{\max}$ на пречупване при навлизане в пластината е такъв, че:

\sin\beta_{\max} = \frac{1}{n}

(0,5 т)

т.е. $\beta_{\max}$ съответства на граничния ъгъл за пълно вътрешно отражение между стъклото и въздуха. Съответно минималният ъгъл на падане на лъчите върху горната/долната повърхност е:

\varphi_{\min} = 90^{\circ} - \beta_{\max}

(0,5 т)

Понеже $n = 1{,}73 > \sqrt{2}$ , следва, че:

\sin\beta_{\max} < \frac{1}{\sqrt{2}}

(0,5 т)

Съответно $\beta_{\max} < 45^{\circ}$ (0,5 т) и $\varphi_{\min} > \beta_{\max}$ (1 т). Следователно всички лъчи, падащи дърху горната или долната повърхност ще претърпят пълно вътрешно отражение (1 т).

Минималното разстояние Δl в хоризонтална посока между две съседни отражения на лъчите от противоположните стени е:

\Delta l_{\min} = H\,\mathrm{tg}\,\varphi_{\min} = H\frac{\cos\beta_{\max}}{\sin\beta_{\max}} = H\sqrt{n^2 - 1}.

(1 т)

Ако $N$ е броят отражения на даден лъч, то:

\left(N + \frac{1}{2}\right)\Delta l_{\min} \le L

Добавката (1/2) се получава защото преди първото отражение лъчът изминава от лявата повърхност разстояние Δl/2 в хоризонтална посока. Максималният брой отражения е най-голямото цяло число, за което е в сила горното неравенство. Следователно:

N = \left[\frac{L}{\Delta l_{\min}} - \frac{1}{2}\right] = \left[\frac{L}{H}\frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}} - \frac{1}{2}\right].

(1 т)

Като заместим с числените данни, получаваме:

N = 69

(0,5 т)

Част 2

Поглед отстрани: фенер с височина H, човек с височина h, права от върха на фенера през главата на човека до края на сянката; разстояния l и y.

Поглед отстрани: Да проверим с каква скорост се движи сянката по направление перпендикулярно на тротоара. За тази цел използваме подобни триъгълници:

\frac{y - l}{y} = \frac{h}{H}

(0,5 т)

y = \frac{lH}{H - h} = const

(0,5 т)

т.е. няма преместване в това направление и следователно скорост на сянката в тази посока е равна на нула.

Поглед отгоре: подобни триъгълници с катети l и y и вектори на скоростите v и u.

Поглед отгоре: Да изследваме скоростта на сянката в направление правата, свързана с тротоара. Нека Иван се е преместил на разстояние x по тротоара, а сянката му на разстояние s. От подобни триъгълници следва:

\frac{x}{s} = \frac{l}{y}

(0,5 т)

Като използваме полученото за y и след елементарни математически преобразувания:

s = \frac{xH}{H - h}

(0,5 т)

След почленно деление на интервал от време t:

u = \frac{vH}{H - h} = const

(1 т)

Б) Графиката u = u(x) е права успоредна на абсцисната ос (0,5 т).

Графика u(x): хоризонтална права, успоредна на оста x.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Оптика · Механика · Пречупване · Отражение и огледала · Кинематика

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF3_2025_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2025_10solutions.pdf