Съдържание

Условие Част 1 (4 т.)Част 2 (6 т.)Отговори Решение

НОФ 2025, III кръг (национален), 10. клас — Задача 3. Пружини

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. Казанлък, 25–27 април 2025 г. Тема за IV състезателна група (10. клас) · 25 април 2025 г.

Условие

Част 1 (4 т.)

Петър има комплект еднакви пружини и 20 еднакви кубчета. Пружините са с коефициент на еластичност k всяка и дължина в недеформирано състояние $l_0$ , а кубчетата – с маса m всяко. Коефициентът на триене между кубчетата и повърхността е μ.

Петър наредил кубчетата едно след друго по права линия, като ги свързал помежду им с пружини, и така получил верига: кубче–пружина–кубче–пружина ... до последното кубче. Петър внимателно раздалечил кубчетата едно от друго, така че всички пружини да бъдат разтегнати.

А) Колко пружини използвал Петър, за да свърже кубчетата? [0,5 т.]

Б) Намерете максималната дължина l на веригата от кубчета и пружини, при която всички кубчета ще се намират в покой на повърхността. [3,5 т.]

За всички пружини е изпълнен закона на Хук. Размерът на кубчетата да се пренебрегне.

Полезна формула: $1 + 2 + 3 + \cdots + N = \frac{N(N+1)}{2}$

Част 2 (6 т.)

Три безтегловни пружини с коефициент на еластичност k, 2k и 3k съответно са свързани с неразтегливи нишки и са закачени на хоризонтален таван (вж. фигурата). Нишката, свързваща втората и третата пружина минава през безтегловна подвижна макара. В даден момент, под действие на плавно увеличаваща се външна сила F, макарата започва да се издърпва надолу с постоянна скорост $v$ .

Хоризонтален таван, от който висят последователно свързани пружини k и 2k с точка A в края на 2k и пружина 3k; нишката между пружините 2k и 3k минава през подвижна макара, която се движи надолу със скорост v.

А) Намерете скоростта, с която се движи т. А (краят на пружината с коефициент на еластичност 2k). [3 т.]

Б) Как трябва да се променя с времето t външната сила сила F, която действа на макарата, така че тя да се движи с постоянната скорост $v$ ? За всички пружини е в сила законът на Хук. [3 т.]

Отговори

Решение

Част 1

А) Понеже имаме 20 кубчета това означава, че те са свързани с 19 пружини. (0,5 т)

Б) За да се намира едно от тяло в покой, в контекста на задачата, е необходимо „еквивалентната“ сила на еластичност да е равна на силата на триене.

F_1 - F_2 = k.(\Delta x_1 - \Delta x_2) = \mu mg,

(1 т)

където $\Delta x_1$ , $\Delta x_2$ са деформациите на двете пружини. Поради това максималното удължение на последните крайни пружни (крайна лява и крайна дясна) е:

\Delta x = \frac{\mu mg}{k}

(0,5 т)

За вторите крайни (втора пружина от дясната страна на веригата и втора лява от лявата страна на веригата) е 2Δx, за третите 3Δx и т.н. (0,5 т)

Верига от кубчета и пружини с означени удължения Δx, 2Δx, 3Δx, …, 3Δx, 2Δx, Δx от двата края към средата.

Понеже имаме 20 тела това означава, че разполагаме с 19 пружини, т.е. 9 двойки плюс една пружина. Максималната сумарна деформация на пружините е:

\Delta l = 2(\Delta x + 2\Delta x + 3\Delta x + \ldots 9\Delta x) + 10\Delta x

(0,5 т)

Използваме формулата:

1 + 2 + 3 + \cdots + N = \frac{N(N + 1)}{2}

Максималната сумарна деформация е:

\Delta l = 90\Delta x + 10\Delta x = 100\Delta x

(0,5 т)

Максималната дължина на веригата е:

l = 19l_0 + 100\frac{\mu mg}{k}

(0,5 т)

Част 2

А) Нека разгледаме малък интервал от време Δt. Понеже макарата се движи с постоянна скорост $v$ , то за този интервал от време ще се придвижи надолу $\Delta x = v\Delta t$ . Тогава общата деформация на всички пружини трябва да бъде 2Δx. От друга страна пружините се разтеглят с еднаква сила и следователно деформацията на всяка отделна пружина е обратнопропорционална на коефициента на еластичност. Това означава, че пружината с коефициент на еластичност k ще се разтегли с $\Delta x_1$ , пружината с 2k ще се разтегли $\Delta x_1/2$ , пружината с 3k ще се разтегли с $\Delta x_1/3$ . (0,5 т) Поради това:

\Delta x_1 + \frac{\Delta x_1}{2} + \frac{\Delta x_1}{3} = 2v\Delta t

(1 т)

\Delta x_1 = \frac{12}{11}v\Delta t

(0,5 т)

От друга страна преместването на т.А за разглеждания интервал от време е равно на деформацията на пружините k и 2k.

\Delta x_A = \Delta x_1 + \frac{\Delta x_1}{2} = \frac{3\Delta x_1}{2} = \frac{18}{11}v\Delta t

(0,5 т)

v_A = \frac{18v}{11}

(0,5 т)

Скоростта е постоянна с времето.

Б) Тъй като макарата се движи равномерно, във всеки момент външната сила F трябва да уравновесява удвоената сила $T$ на опън на нишката:

F = 2T

(1 т)

В момента t след началото на движението макарата се е преместила с $v$ t , а пружината с коефициент на еластичност k се е разтегнала с:

\Delta x_1 = \frac{12}{11}vt

(0,5 т)

Силата на опън на всички нишки е еднаква и равна на силата на еластичност на разтегнатите пружини:

T = k\Delta x_1 = \frac{12kvt}{11}

(0,5 т)

Следователно външната сила е:

F = \frac{24kvt}{11}

(0,5 т)

Силата F трябва да нараства линейно с времето t . (0,5 т)

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Еластичност · Триене · Връзки и свързани тела

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF3_2025_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2025_10solutions.pdf