Съдържание

НОФ 2025, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Жичка върху релси

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. Казанлък, 25–27 април 2025 г. Тема за V състезателна група (11.-12. клас) · 25 април 2025 г. · 15 т.

Физични константи

Физични константи, които можете да използвате във всички задачи:

Земно ускорение	$g = 9{,}81\ \mathrm{m.s^{-2}}$
Гравитационна константа	$\gamma \equiv G = 6{,}67.10^{-11}\mathrm{m^3.kg^{-1}.s^{-2}}$
Маси на частиците: - електрон; - протон; - неутрон	$m_{\mathrm{e}} = 9{,}109.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ ; $m_{\mathrm{p}} = 1{,}673.10^{-27}\ \mathrm{kg}$ ; $m_{\mathrm{n}} = 1{,}675.10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Елементарен електричен заряд	$e = 1{,}60.10^{-19}\ \mathrm{C}$
Константа на Кулон	$k_{\mathrm{C}} = 9{,}00.10^{9}\ \mathrm{N.m^2.C^{-2}}$
Електрична константа	$\varepsilon_0 = 1/4\pi k_{\mathrm{C}} \approx 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}$
Магнитна константа	$\mu_0 = 4\pi.10^{-7}\ \mathrm{T.m.A^{-1}}$
Скорост на светлината	$c = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m}.s^{-1}$
Константа на Планк	$h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Редуцирана константа на Планк	$\hbar = h/(2\pi) = 1{,}05.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Атомна единица за маса	$1\ \mathrm{u} = 1{,}66.10^{-27}\ \mathrm{kg} = 931{,}5\ \mathrm{MeV.c^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8{,}31\ \mathrm{J.mol^{-1}K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_{\mathrm{A}} = 6{,}02.10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Константа на Болцман	$k_{\mathrm{B}} = R/N_{\mathrm{A}} = 1{,}38.10^{-23}\ \mathrm{J.K^{-1}}$
Константа на Ридберг	$R_{\mathrm{H}} = 1{,}097.10^{7}\mathrm{m^{-1}}$

Условие

Права метална жичка с маса $m$ може да се хлъзга без триене по две вертикални метални релси, на разстояние $\ell$ една от друга, като през цялото време се намира в идеален електрически контакт с тях (фиг. 2 – а, б, в). Системата се намира в еднородно магнитно поле с индукция $B$ , перпендикулярна на равнината, образувана от релсите. Във всички подточки на задачата можете да приемете, че:

В началния момент жичката се намира в горния край на релсите (т.е. $x_0 = 0$ ) и е оставена да се хлъзга надолу по тях с нулева начална скорост.
релсите са достатъчно дълги, така че в разглежданите интервали от време жичката не достига техния долен край;
електричното съпротивление на жичката и на релсите се пренебрегва.

Три схеми (а), (б), (в) на две вертикални релси с хоризонтална жичка между тях. В (а) горните краища са свързани с резистор R; означени са 0 и ос x надолу, g надолу, маса m, скорост v надолу, B (⊗, перпендикулярно към чертежа) и разстояние ℓ между релсите. В (б) горните краища са свързани с кондензатор C, а в (в) – с намотка L. — Фиг. 2

а) Между горните краища на релсите е свързан резистор със съпротивление $R$ (фиг. 2 а)

Разгледайте момент, в който жичката е достигнала скорост $v$ . Получете израз за индуцираното електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ в електрическата верига, образувана от жичката, релсите и резистора в този момент. [3,0 т]
Получете израз за граничната скорост $v_{\text{г}}$ която достига жичката след достатъчно дълго време. [6 т.]

б) Вместо резистор, между горните краищата на релсите е свързан първоначално незареден кондензатор с капацитет $C$ (фиг. 2 б). Докажете, че в този случай жичката ще се движи равноускорително и получете израз за нейното ускорение $a$ . [4 т.]

в) В последния случай между горните краища на релсите е свързана намотка с индуктивност $L$ и с пренебрежимо електрично съпротивление (фиг. 2 в). След като жичката бъде освободена, тя започва да трепти във вертикално направление. Намерете периода $T$ и амплитудата $A$ на това трептене. [5 т.]

Отговори

Решение

а)

а1	$\Phi = B\ell x$	$f = qvB$	0.5
а2	$\mathcal{E} = \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \dfrac{B\ell\Delta x}{\Delta t}$	$\mathcal{E} = \dfrac{A^*}{q}$	1.0
а3	$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$	$A^* = f\ell = qvB\ell$	0.5
а4	$\mathcal{E} = B\ell v$		1.0
		Общо	3.0

а5	$I = \dfrac{\mathcal{E}}{R} = \dfrac{v_{\text{г}}B\ell}{R}$	$P_R = \dfrac{\mathcal{E}^2}{R} = \dfrac{(v_{\text{г}}B\ell)^2}{R}$	1.0
а6	$mg = IB\ell$	$P_R = mgv_{\text{г}}$	1.0
а7	$v_{\text{г}} = \dfrac{mgR}{B^2\ell^2}$		1.0
		Общо	3.0

б)

б1	$E = \dfrac{CU^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{1}{2}(m + CB^2\ell^2)v^2$	$ma = mg - IB\ell$	1.0
б2	$E = A_G = mgx$	$I = \dfrac{\Delta q}{\Delta t} = \dfrac{C\Delta U}{\Delta t}$	1.0
б3	$v^2 = 2ax$	$\dfrac{\Delta U}{\Delta t} = \dfrac{B\ell\Delta v}{\Delta t} = B\ell a$	1.0
б4	$a = \dfrac{mg}{m + CB^2\ell^2}$		1.0
		Общо	4.0

в)

в1	$B\ell v - \dfrac{L\Delta I}{\Delta t} = 0$		1.0
в2	$v\Delta t = \Delta x$		0.5
в3	$I = \dfrac{B\ell x}{L}$		0.5
в4	$ma = mg - IB\ell = mg - \dfrac{B^2\ell^2}{L}x$	$E = \dfrac{mv^2}{2} - mgx + \dfrac{LI^2}{2} = \dfrac{mv^2}{2} - mgx + \dfrac{B^2\ell^2x^2}{2} = \mathrm{const}$	1.0
в5	$k_{\mathrm{eff}} = \dfrac{B^2\ell^2}{L}$		0.5
в6	$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{\mathrm{eff}}}} = \dfrac{2\pi}{B\ell}\sqrt{mL}$		0.5
в7	$mg - \dfrac{B^2\ell^2}{L}x_0 = 0$	$-mgx_{\max} + \dfrac{B^2\ell^2x_{\max}^2}{2} = 0$	0.5
в8	$A = x_0 = \dfrac{mgL}{B^2\ell^2}$	$A = \dfrac{x_{\max}}{2} = \dfrac{mgL}{B^2\ell^2}$	0.5
		Общо	5.0

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf