Съдържание

НОФ 2025, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Налягане на слънчевата светлина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. Казанлък, 25–27 април 2025 г. Тема за V състезателна група (11.-12. клас) · 25 април 2025 г. · 15 т.

Физични константи

Физични константи, които можете да използвате във всички задачи:

Земно ускорение	$g = 9{,}81\ \mathrm{m.s^{-2}}$
Гравитационна константа	$\gamma \equiv G = 6{,}67.10^{-11}\mathrm{m^3.kg^{-1}.s^{-2}}$
Маси на частиците: - електрон; - протон; - неутрон	$m_{\mathrm{e}} = 9{,}109.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ ; $m_{\mathrm{p}} = 1{,}673.10^{-27}\ \mathrm{kg}$ ; $m_{\mathrm{n}} = 1{,}675.10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Елементарен електричен заряд	$e = 1{,}60.10^{-19}\ \mathrm{C}$
Константа на Кулон	$k_{\mathrm{C}} = 9{,}00.10^{9}\ \mathrm{N.m^2.C^{-2}}$
Електрична константа	$\varepsilon_0 = 1/4\pi k_{\mathrm{C}} \approx 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}$
Магнитна константа	$\mu_0 = 4\pi.10^{-7}\ \mathrm{T.m.A^{-1}}$
Скорост на светлината	$c = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m}.s^{-1}$
Константа на Планк	$h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Редуцирана константа на Планк	$\hbar = h/(2\pi) = 1{,}05.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Атомна единица за маса	$1\ \mathrm{u} = 1{,}66.10^{-27}\ \mathrm{kg} = 931{,}5\ \mathrm{MeV.c^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8{,}31\ \mathrm{J.mol^{-1}K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_{\mathrm{A}} = 6{,}02.10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Константа на Болцман	$k_{\mathrm{B}} = R/N_{\mathrm{A}} = 1{,}38.10^{-23}\ \mathrm{J.K^{-1}}$
Константа на Ридберг	$R_{\mathrm{H}} = 1{,}097.10^{7}\mathrm{m^{-1}}$

Условие

а) Изкуствен спътник с маса $m$ обикаля около звезда с маса $M$ по кръгова орбита с радиус $r_1$ . Да предположим, че изведнъж гравитационната константа намалее до стойност $\gamma'$ , по-малка от познатата ви таблична стойност $\gamma$ . На какво максимално разстояние $r_2$ би се отдалечил спътникът от звездата, движейки се по новата си орбита? [3 т.]

б) Нека, когато спътникът се намира на разстояние $r_2$ от звездата, гравитационната константа изведнъж наново възстанови първоначалната си стойност $\gamma$ . На какво минимално разстояние $r_3$ ще се доближи спътникът до звездата? Сравнете $r_3$ и $r_1$ . [2 т.]

в) Нека спътникът има напречно сечение $S$ и поглъща напълно падащата върху него светлина от звездата. Енергията, падаща за единица време върху единица площ от сечението на спътника, когато той се намира на разстояние $r_1$ от звездата, е $W(r_1) = \dfrac{\Delta E}{\Delta t\Delta S}$ . Ако гравитационната константа е $\gamma$ , покажете, че резултантната сила (сума на гравитационната сила и силата, дължаща се на налягането на светлината), действаща на спътника (ако той се намира на произволно разстояние $r$ от звездата), е еквивалентна на гравитационна сила с ефективна гравитационна константа $\gamma'$ . Изразете $\gamma'$ чрез $\gamma$ и дадените величини. [2 т.]

г) Първоначално спътник се движи около Слънцето по кръгова с радиус $r_1 = 150.10^6\ \mathrm{km}$ и период $T = 365$ дни. Масата на спътника е $m = 100\ \mathrm{kg}$ , а напречното му сечение е пренебрежимо малко. В даден момент от спътника се разгъва напълно отразяваща повърхност с форма на квадрат със страна 10,0 m, насочена винаги към Слънцето. Известно е, че $W(r_1) = 1360\ \mathrm{W/m^2}$ . Изчислете отношението на разстоянията $r_2/r_1$ (виж подусловие а)). [2 т.]

д) Когато спътникът достига разстоянието $r_2$ , отразяващата повърхност се сгъва и прибира напълно, така че сечението на спътника става отново пренебрежимо малко. Изчислете отношението на разстоянията $r_3/r_1$ (виж подусловие б)). [2 т.]

е) Оказва се, че спътниците, обикалящи около Земята, летят по бавно променящи се орбити. За спътници, обикалящи около Земята на ниски орбити (на разстояние от земната повърхност $h < 700\ \mathrm{km}$ ) основната причина за тази промяна е силата на челно съпротивление от атмосферата, която води до бавно „падане“ на спътника. За спътници, летящи на по-високи орбити ( $h > 700\ \mathrm{km}$ ) обаче основната причина за промяна на орбитата е налягането на слънчевата светлина. Нека си представим, че спътник лети по кръгова орбита с височина над земната повърхност $h \approx 1000\ \mathrm{km}$ . Равнината на орбитата на този спътник съвпада с равнината на орбитата на Земята около Слънцето. Обяснете качествено причината за промяната на орбитата на спътника и нарисувайте на чертеж посоката на промяната на орбитата („новата“ орбита или „новите“ орбити) и нейното (тяхното) положение (и ориентация) спрямо старата орбита и посоката Земя-Слънце. Мащабът на разстоянията може да не е спазен. [2 т.]

ж) Нашето Слънце се е образувало от облак от газ и прах чрез гравитационно уплътняване. В един момент плътността в центъра на облака става достатъчно голяма, за да протичат ядрени реакции, и той се превръща в звезда и започва да свети. Тогава слънчевата светлина ще започне да „издухва“ далеч от Слънцето всички частици с радиус, по-малък от някакъв критичен $r_{\text{кр}}$ . Приемете, че частиците са сферични с плътност $\rho = 2000\ \mathrm{kg/m^3}$ , и че поглъщат напълно падащата светлина (с $W(r_1) = 1360\ \mathrm{W/m^2}$ виж подусловие г)). Изчислете $r_{\text{кр}}$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) Когато спътникът се намира на максималното разстояние $r_2$ от звездата, скоростта му $v_2$ е перпендикулярна на радиус–вектора $r_2$ . Тъй като в началният момент спътникът се е движел по кръгова орбита с радиус $r_1$ , скоростта му $v_1$ също е била перпендикулярна на радиус-вектора $r_1$ . Така излиза, че точки 1 и 2 лежат на голямата полуос на елиптичната орбита, по която ще се движи спътникът. [0.3 т.] От закона за запазване на момента на импулса следва, че $mr_1v_1 = mr_2v_2$ . [0.3 т.] (1) От закона за запазване на енергията следва, че $\dfrac{mv_1^2}{2} - \gamma'\dfrac{Mm}{r_1} = \dfrac{mv_2^2}{2} - \gamma'\dfrac{Mm}{r_2}$ . [0.4 т.] (2) Преобразувайки (2) до $v_2^2 - v_1^2 = 2\gamma' M\left(\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_1}\right)$ (3) и изразявайки $v_2$ от (1), $v_2 = v_1\dfrac{r_1}{r_2}$ и замествайки го в (3), се получава $\left(v_1\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 - v_1^2 = 2\gamma' M\left(\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_1}\right)$ . [0.3 т.] След опростяване $r_2 = \dfrac{r_1}{\frac{2\gamma' M}{v_1^2 r_1} - 1}$ . (4) [0.5 т.] Тъй като първоначално спътникът се е движел по кръгова орбита, $\dfrac{mv_1^2}{r_1} = \gamma\dfrac{Mm}{r_1^2}$ , то $v_1^2 = \gamma\dfrac{M}{r_1}$ . (5) [0.5 т.] Замествайки (5) в (4), $r_2 = \dfrac{r_1}{\frac{2\gamma'}{\gamma} - 1}$ . (6) [0.5 т.] Тъй като $\gamma' < \gamma$ , то $r_2 > r_1$ . [0.2 т.]

б) Можем да приложим (4)

за новата орбита, като заменим $\gamma'$ с $\gamma$ , $r_3 = \dfrac{r_2}{\frac{2\gamma M}{v_2^2 r_2} - 1}$ . [0.5 т.] (7) Изразявайки отново $v_2$ чрез $v_1$ и използвайки (5), $r_3 = \dfrac{r_2}{\frac{2\gamma M r_2}{v_1^2 r_1^2} - 1} = \dfrac{1}{\frac{2}{r_1} - \frac{1}{r_2}}$ . [0.8 т.] (8) След заместване с (6), $r_3 = \dfrac{r_1}{3 - 2\frac{\gamma'}{\gamma}}$ . [0.5 т.] (9) Тъй като $\gamma' < \gamma$ , то $r_3 < r_1$ . [0.2 т.]

в) Когато спътникът се намира на произволно разстояние $r$ от звездата $W(r) = W(r_1)\dfrac{r_1^2}{r^2}$ . [0.2 т.] Тогава действащата му резултантна сила е $F = \gamma\dfrac{Mm}{r^2} - \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ , [0.4 т.] (10) където $\Delta p$ е импулсът на погълнатата светлина от спътника за време $\Delta t$ . Тъй като за фотона връзката енергия-импулс е $E = pc$ , [0.2 т.] то при поглъщане на светлината $\dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{1}{c}\dfrac{\Delta E}{\Delta t} = \dfrac{1}{c}W(r)S = W(r_1)\dfrac{r_1^2 S}{cr^2}$ . [0.5 т]. Така (10) се преобразува до е $F = \gamma\dfrac{Mm}{r^2} - W(r_1)\dfrac{r_1^2 S}{cr^2}$ или $F = \gamma\left(1 - W(r_1)\dfrac{r_1^2 S}{\gamma cMm}\right)\dfrac{Mm}{r^2}$ . [0.5 т.] Следователно $\gamma' = \gamma\left(1 - W(r_1)\dfrac{r_1^2 S}{\gamma cMm}\right)$ . (11) [0.2 т.]

г) Тъй като в този случай повърхността не поглъща светлината, а я отразява напълно и то в перпендикулярно на нея направление, промяната на импулса ѝ заради действието на светлината ще е 2 пъти по-голямо в сравнение със случая в подусловие в). [0.3 т.] Затова сега (11) ще се промени така $\gamma' = \gamma\left(1 - 2W(r_1)\dfrac{r_1^2 S}{\gamma cMm}\right)$ . [0.2 т.] (12) Тъй като $\gamma$ и $M$ не са дадени, тяхното произведение можем да намерим от параметрите на орбитата на спътника (всъщност земната орбита): $\gamma\dfrac{Mm}{r_1^2} = m\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 r_1$ , откъдето $\gamma M = \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 r_1^3$ . [0.3 т.] Замествайки в (11) $\gamma' = \gamma\left(1 - \dfrac{2W(r_1)S}{c\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r_1 m}\right)$ . [0.2 т.] Замествайки в (6) $r_2 = \dfrac{r_1}{2\left(1 - \frac{2W(r_1)S}{c\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r_1 m}\right) - 1} = \dfrac{r_1}{1 - \frac{4W(r_1)S}{c\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r_1 m}}$ или $\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{1}{1 - \frac{4W(r_1)S}{c\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r_1 m}}$ . [0.2 т.] Замествайки с дадените стойности $\dfrac{r_2}{r_1} \approx 1{,}00305$ . [0.8 т.] (13)

д) Тъй като вече сме изчислили $\dfrac{r_2}{r_1}$ , равенство (8) може да се преобразува до $r_3 = \dfrac{1}{\frac{2}{r_1} - \frac{1}{r_2}} = \dfrac{r_1}{2 - \frac{1}{\frac{r_2}{r_1}}}$ , и $\dfrac{r_3}{r_1} = \dfrac{1}{2 - \frac{1}{\frac{r_2}{r_1}}}$ . [1 т.] Замествайки с резултата (13), $\dfrac{r_3}{r_1} \approx 0{,}99696$ . [1 т.]

е) Нека гледаме Земята откъм северното полукълбо (виж фигурата). Тогава спътникът ще обикаля в посока, обратна на часовниковата стрелка. Когато минава през сянката на Земята, ще му действа само гравитацията. Когато преминава през противоположната (осветената) страна на Земята, към гравитацията ще се добави и силата на налягането на слънчевата светлина. Така отляво ще има по-силна „ефективна“ гравитация. [0.5 т.] Тогава съгласно резултатите, получени в подусловия а) и б) кръговата орбита ще се преобразува в елиптична с все по-голяма „елиптичност“, т.е. с апогей по-далеч и перигей по-близо от кръговата орбита. [0.5 т.] Посоката към апогея ще е такава, че посоката към Слънцето, векторът на ъгловата скорост на спътника и посоката към апогея ще са взаимно перпендикулярни [0.5 т.] и ще образуват дясна тройка. [0.5 т.]

Земята (кръг с надпис „Земя“) в центъра, начална кръгова орбита на спътника и пунктирана „нова“ орбита, изместена наляво; стрелки за посоката на обикаляне (обратно на часовниковата стрелка); вляво стрелка към „Слънце“, вдясно пунктирни линии, ограничаващи „сянка“. Надписи: „нова“ орбита, начална орбита, Слънце, Земя, сянка.

ж) За да „издуха“ слънчевата светлина частиците далеч от Слънцето, действащата сила, причинена от налягането на светлината, трябва да е по-голяма от гравитационната: $W(r_1)\dfrac{r_1^2 S}{cr^2} > \gamma\dfrac{Mm}{r^2}$ . [0.3 т.] $S = \pi r_{\text{ч}}^2$ и $m = \rho\dfrac{4}{3}\pi r_{\text{ч}}^3$ . Тъй като $\gamma$ и $M$ не са дадени, тяхното произведение можем да намерим от параметрите на орбитата на спътника (всъщност земната орбита, както в подусловие г) ): $\gamma\dfrac{Mm}{r_1^2} = m\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 r_1$ , откъдето $\gamma M = \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 r_1^3$ . [0.3 т.] Така получаваме, че $W(r_1)\dfrac{r_1^2\pi r_{\text{ч}}^2}{c} > \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 r_1^3\rho\dfrac{4}{3}\pi r_{\text{ч}}^3$ , откъдето $r_{\text{ч}} < \dfrac{3W(r_1)}{4c\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\rho r_1}$ . [0.5 т.]

Така $r_{\text{кр}} = \dfrac{3W(r_1)}{4c\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\rho r_1} = 0{,}29\ \mu\mathrm{m}$ . [0.9 т.]

Допълнителни източници:

https://www.nasa.gov/mission/acs3/

https://www.youtube.com/watch?v=AVO42b7QLNM

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf