Съдържание

НОФ 2025, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Разширяващата се Вселена

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. Казанлък, 25–27 април 2025 г. Тема за V състезателна група (11.-12. клас) · 25 април 2025 г. · 15 т.

Физични константи

Физични константи, които можете да използвате във всички задачи:

Земно ускорение	$g = 9{,}81\ \mathrm{m.s^{-2}}$
Гравитационна константа	$\gamma \equiv G = 6{,}67.10^{-11}\mathrm{m^3.kg^{-1}.s^{-2}}$
Маси на частиците: - електрон; - протон; - неутрон	$m_{\mathrm{e}} = 9{,}109.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ ; $m_{\mathrm{p}} = 1{,}673.10^{-27}\ \mathrm{kg}$ ; $m_{\mathrm{n}} = 1{,}675.10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Елементарен електричен заряд	$e = 1{,}60.10^{-19}\ \mathrm{C}$
Константа на Кулон	$k_{\mathrm{C}} = 9{,}00.10^{9}\ \mathrm{N.m^2.C^{-2}}$
Електрична константа	$\varepsilon_0 = 1/4\pi k_{\mathrm{C}} \approx 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}$
Магнитна константа	$\mu_0 = 4\pi.10^{-7}\ \mathrm{T.m.A^{-1}}$
Скорост на светлината	$c = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m}.s^{-1}$
Константа на Планк	$h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Редуцирана константа на Планк	$\hbar = h/(2\pi) = 1{,}05.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Атомна единица за маса	$1\ \mathrm{u} = 1{,}66.10^{-27}\ \mathrm{kg} = 931{,}5\ \mathrm{MeV.c^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8{,}31\ \mathrm{J.mol^{-1}K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_{\mathrm{A}} = 6{,}02.10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Константа на Болцман	$k_{\mathrm{B}} = R/N_{\mathrm{A}} = 1{,}38.10^{-23}\ \mathrm{J.K^{-1}}$
Константа на Ридберг	$R_{\mathrm{H}} = 1{,}097.10^{7}\mathrm{m^{-1}}$

Условие

а) Нека в условно избран начален момент, след момента на Големия взрив, разстоянието между две галактики е $r$ . В произволен друг момент $t$ , поради разширяването на Вселената, разстоянието между галактиките е $R(t) = a(t)r$ , където $a(t)$ е универсална за цялата Вселена функция, наречена мащабиращ множител. Докажете закона на Хъбъл: $v(t) = H(t)R(t)$ , където $v(t)$ е относителната скорост на двете галактики една спрямо друга в момента $t$ , а $H(t)$ е зависещата от времето константа на Хъбъл. Изразете $H(t)$ чрез мащабиращия множител и неговата производна $\dot{a}(t)$ по времето. [3 т.]

б) Във Вселената има три вида „материя”, за които ще приемем, че изпълват равномерно пространството: (1) тежка материя, т.е. изграденото от масивни частици вещество със зависеща от времето плътност $\rho_{\mathrm{m}}(t)$ ; (2) излъчване с плътност $\rho_{\mathrm{r}}(t)$ и (3) т.нар. тъмна енергия с независеща от времето плътност на масата $\rho_{\Lambda}$ . Нека изберем една от двете галактики за неподвижно начало $\mathrm{O}$ на координатната система и да разгледаме движението на другата галактика спрямо нея. Като използвате законите на Нютоновата механика, изразете „ускорението”, т.е. втората производна $w = \ddot{a}(t)$ на мащабиращия множител по времето чрез моментната му стойност $a(t)$ , фундаментални константи и общата плътност на материята $\rho(t) = \rho_{\mathrm{m}}(t) + \rho_{\mathrm{r}}(t) + \rho_{\Lambda}(t)$ . [3 т.]

в) Ако приемете, че масата на тежката материя във Вселената се запазва, докажете, че нейната плътност се мени с времето по закона:

\rho_{\mathrm{m}}(t) = A/a(t)^3,

където $A$ е независеща от времето константа. Ако приемете, че във Вселената има само тежка материя, докажете, че константата на Хъбъл е свързана с плътността на тежката материя и с мащабиращия множител чрез уравнението:

H(t)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho_{\mathrm{m}}(t) - \frac{k}{a(t)^2}

(т.нар. уравнение на Фридман),

където $G$ е гравитационната константа, а $k$ е неизвестна константа. Определете как се разширява Вселената, т.е. как се променя с времето мащабиращия множител $a(t)$ , ако $k = 0$ . Какво е възможното бъдеще на Вселената в зависимост от различните стойности на константата $k$ ? [5 т.]

От Общата теория на относителността следва (не се опитвайте да го докажете), че при наличие на излъчване и тъмна енергия уравнението на Фридман се обобщава, просто като се замести плътността на тежката материя с общата плътност $\rho(t)$ на всички форми на материя:

H(t)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho(t) - \frac{k}{a(t)^2}

г) Чрез методи на квантовата механика се доказва, че плътността на излъчването се мени с времето по закона: $\rho_{\mathrm{r}}(t) = B/a(t)^4$ , където $B$ е независеща от времето константа. Как би се разширявала Вселената, ако в нея имаше само излъчване (тоест няма тежка материя и тъмна енергия) и $k = 0$ . Ако има и тежка материя, на кои етапи от развитието на Вселената има превес излъчването, и на кои – тежката материя? [2 т.]

д) Съществуването на тъмната енергия е хипотеза, която обяснява ускорителното разширяване на Вселената. Прието е плътността на тъмната енергия да се представя във вида: $\rho_{\Lambda} = \Lambda/(8\pi G) = \mathrm{const}$ , където $\Lambda > 0$ е т.нар. космологична константа. На кои етапи от развитието на Вселената доминира тъмната енергия? Как би се разширявала Вселената, ако в нея имаше само с тъмна енергия и ако $k = 0$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) Като диференцираме двете страни на равенството: $R(t) = a(t)r$ , получаваме: $\dot{R}(t) = v(t) = \dot{a}(t)r$ . След очевидни алгебрични преобразования:

v(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}a(t)r = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}R(t) = H(t)R(t),

където константата на Хъбъл е: $H(t) = \dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$ . [3 т]

б) Избираме едната галактика за начало на координатната система. Уравнението за движение на втората галактика с маса $m$ на разстояние $R(t)$ от първата галактика, е:

m\ddot{R}(t) = -\frac{GMm}{R(t)^2} = -\frac{4\pi\rho(t)R(t)^3}{3R(t)^2}m = -\frac{4\pi\rho(t)}{3}R(t)m

където $M$ е масата на материята, съдържаща се в кълбо с радиус $R$ около първата галактика (фиг. 1), а $\rho$ – нейната плътност. Като отчетем, че $R(t) = a(t)r$ , получаваме:

\ddot{a}(t) = -\frac{4\pi}{3}G\rho(t)a(t) \qquad (1)

[3 т]

в) Очевидно е, че $\rho_{\mathrm{m}}(t) = \dfrac{M}{V(t)} = \dfrac{3M}{4\pi R(t)^3} = \dfrac{3M}{4\pi a(t)^3r^3} = \dfrac{A}{a(t)^3}$ , защото обхванатата маса $M$ от сферата не се променя, дори докато Вселената се разширява (не допускаме, че се създава спонтанно материя). Смисълът на $A$ е плътността на тежката материя в избрания начален момент. В такъв случай от уравнение (1) имаме:

\ddot{a} = -\frac{4\pi GA}{3a^2} = -\frac{\mu}{a^2} \qquad (2)

Където $\mu = \dfrac{4\pi GA}{3} = \mathrm{const}$ . Математически това прилича на уравнение за движение на материална точка, падаща към гравитационен център. Наистина нека сравним движението по оста $x$ на произволна материална точка към някаква планета. Законът за движение е:

m\ddot{x} = -\frac{GMm}{x^2} \qquad (3)

За да решим такова движение, обикновено използваме закона за запазване на енергията: $\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 - \dfrac{GmM}{x} = E$ , където $E$ е енергията на частицата. Тук $E$ може да е положителна, отрицателна или нула. Ако $E = 0$ , частицата има енергия, точно необходима за да напусне планетата, т.е. има втора космическа скорост. Еко $E < 0$ , частицата няма достатъчно енергия да напусне планетата и пада върху нея. Ако пък $E > 0$ частицата може да напусне планетата. Като направим аналогия между (2) и (3) заключаваме, че:

\frac{1}{2}\dot{a}(t)^2 - \frac{\mu}{a(t)} = -\frac{k}{2} = \mathrm{const} \qquad (4)

където $-k/2$ е константа, аналогична на енергията на частицата. Делим на $a^2$ уравнение (4) и получаваме:

\left[\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}\right]^2 = \frac{2\mu}{a(t)^3} - \frac{k}{a(t)^2}

Като вземем предвид израза за $H$ и за плътността, получаваме уравнението на Фридман:

H(t)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho(t) - \frac{k}{a(t)^2}

Понеже $-k/2$ играе същата роля, като енергията за частица, падаща върху планета, ако $k = 0$ , Вселената все едно има „втора космическа скорост” и $a(t)$ расте неограничено – тоест вечно разширяваща се Вселена. Ако $k < 0$ (съответстващо на $E > 0$ ), Вселената се разширява неограничено. При $k > 0$ (т.е. $E < 0$ ), Вселената няма достатъчно енергия, за да се разширява вечно и в крайна сметка се свива обратно в точка.

За $k = 0$ от уравнение (4) имаме: $\mathrm{d}a(t)/\mathrm{d}t = \sqrt{2\mu/a(t)}$ . Разделяме на променливите и интегрираме двете страни: $\displaystyle\int_0^a \sqrt{a}\,\mathrm{d}a = \sqrt{2\mu}\int_0^t \mathrm{d}t$ , откъдето следва $2/3\ a(t)^{3/2} = \sqrt{2\mu}\,t$ , т.е. Вселената расте както $a(t) \propto t^{2/3}$ [5 т.]

г) Ако има само излъчване и $k = 0$ , получаваме: $H(t)^2 = \dfrac{8\pi G}{3}\dfrac{B}{a(t)^4}$ или след коренуване на двете страни: $\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)} = \sqrt{\dfrac{8\pi GB}{3}}\dfrac{1}{a(t)^2}$ . След разделяне на променливите и интегриране на двете страни $\displaystyle\int_0^a a\,\mathrm{d}a = \sqrt{8\pi GB/3}\int_0^t \mathrm{d}t$ , получаваме, че за Вселена, в която преобладава лъчението: $a(t) \propto t^{1/2}$ .

При наличие на тежка материя и лъчение, пълното уравнение на Фридман има вида:

H^2 = \frac{8\pi G}{3}\left(\frac{A}{a^3} + \frac{B}{a^4}\right) - \frac{k}{a^2}

Веднага след Големия взрив Вселената е била с много малки размери. Тогава радиационният член е бил най-значим и той е определял растежа на Вселената. [2 т.]

д) Пълното уравнение на Фридман при наличие на тъмна енергия става:

H^2 = \frac{8\pi G}{3}\left(\frac{A}{a^3} + \frac{B}{a^4}\right) + \frac{1}{3}\Lambda - \frac{k}{a^2}

Ясно е, че ако Вселената се разширява неограничено, на по-късните етапи от нейното развитие, когато мащабиращият множител $a(t)$ е много голям, тъмната енергия взима превес над останалите събираеми. Затова след достатъчно дълго време: $H = \sqrt{\dfrac{\Lambda}{3}} = \mathrm{const}$ . В този случай уравнението за мащабиращия множител става: $\dot{a}(t)/a(t) = H = \mathrm{const}$ . След интегриране намираме $a(t) \propto \exp(Ht)$ , т.е. наблюдава се ускоряващо се експоненциално разширение на Вселената. [2 т.]

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf