НОФ 2025, III кръг (национален), 7. клас — Задача 2. Схема с резистори

• б) 0 A

• в) 9.6 W

• г) 0.13 A

  Точна стойност 4/30 A.

• д) 3.2 W

  В официалното решение мощността е означена с P1 вместо P2.

а) Схемата, преначертана по такъв начин, че да изглежда най-симетрична, е дадена вдясно. [2 т.]

б) Токът $I_{51}$ през резистора $R_5$ е нула. Това може да се докаже по следния начин. Нека допуснем, че токът $I_{51}$ е различен от нула и тече нагоре. Това означава, че токът $I_1$ (течащ през резистора $R_1$) е по-голям от $I_2$ (течащ през резистора $R_2$). Тъй като тези два резистора имат равни съпротивления, това означава, че напрежението $U_1$ (на резистора $R_1$) е по-голямо от напрежението $U_2$ (на резистора $R_2$) и ще е по-голямо от половината напрежение $U$ на батерията, $U_1 > U/2$. От друга страна токът $I_3$ (течащ през резистора $R_3$) е по-голям от $I_4$ (течащ през резистора $R_4$). Тъй като тези два резистора също имат равни съпротивления, това означава, че напрежението $U_4$ (на резистора $R_4$) е по-малко от напрежението $U_3$ (на резистора $R_3$) и $U_3 > U/2$. От това стигаме до извода, че $U = U_1 + U_5 + U_2 > U$, което е невъзможно и прави допускането невярно. Същите разсъждения може да повторим и ако допуснем, че токът $I_{51}$ е различен от нула и тече надолу. Отново ще стигнем до противоречие. Остава третата възможност, че този ток $I_{51} = 0$. [2 т.]

в) Мощността $P_1$, консумирана от схемата, е мощността, консумирана от 4-те резистора (през $R_5$ не тече ток). От схемата се вижда че $I_1 = I_2 = \frac{12\mathrm{V}}{10\Omega + 10\Omega} = 0{,}6\ \mathrm{A}$. [0.5 т.] Също така $I_3 = I_4 = \frac{12\mathrm{V}}{30\Omega + 30\Omega} = 0{,}2\ \mathrm{A}$. [0.5 т.] Тогава мощността $P_1 = {I_1}^2R_1 + {I_2}^2R_2 + {I_3}^2R_3 + {I_4}^2R_4 =$ [0.5 т.] 9,6 W. [0.5 т.]

г) След премахването на резистора $R_1$ схемата изглежда, както е дадена на фигурата вдясно. Тъй като $R_5 + R_2 = R_3$, [0.2 т.] то $I_{52} = I_2 = I_3$. [0.3 т.] Тогава $I_4 = 2I_3$. [0.3 т.] Можем да намерим тока $I_3$ от равенството $U = R_4I_4 + R_3I_3 = R_42I_3 + R_3I_3$, [0.2 т.] откъдето $I_3 = \frac{U}{2R_4 + R_3} = \frac{12\mathrm{V}}{60\Omega + 30\Omega} =$ [0.5 т.] $\frac{4}{30}\ \mathrm{A}$. Така $I_{52} = \frac{4}{30}\ \mathrm{A} \approx 0{,}13\ \mathrm{A}$ [0.5 т.]

д) Мощността $P_2$, консумирана от схемата, след премахването на резистора $R_1$ е $P_1 = {I_{52}}^2R_2 + {I_{52}}^2R_5 + {I_3}^2R_3 + {I_4}^2R_4$, [0.5 т.] което е $P_1 = {I_{52}}^2(R_2 + R_5 + R_3 + 4R_4)$. [0.5 т.] Заместваме с получената стойност от предното подусловие. $P_1 = \left(\frac{4}{30}\ \mathrm{A}\right)^2.(10\Omega + 20\Omega + 30\Omega + 120\Omega) =$ [0.5 т.] 3,2 W. [0.5 т.]