Съдържание

НОФ 2025, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Кинематика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА, НАЦИОНАЛЕН КРЪГ 25 – 27 април 2025 г., Казанлък Тема за 9. клас (трета състезателна група) · 25 април 2025 г.

Условие

Графики на скоростта v от времето t за две тела: първата права излиза от началото O, втората – от момента t1 на оста t и е по-стръмна; правите се пресичат в момента t2, отбелязан с пунктирана вертикална линия. — Фиг. 2

А (2,5 т.)

На фиг. 2 са показани графиките на скоростта на две тела, движещи се в една посока по дадена права от едно и също начално положение. Моментите $t_1$ и $t_2$ се считат за известни. След какъв интервал от време от началото на движението второто тяло ще настигне първото.

Б

Балон се издига от земната повърхност равноускорително вертикално нагоре, като за време $t_1 = 10\ \mathrm{s}$ достига височина $H = 200\ \mathrm{m}$ . В момента $t_2 = 5\ \mathrm{s}$ след старта от балона се отделя малък тежък предмет.

а) Намерете времето $t$ , за което предметът ще падне на земята. [3,5 т.]

б) С каква скорост $v$ предметът ще падне на земята? [0,5 т.]

в) Начертайте графиката на скоростта на предмета $v$ в зависимост от времето $t$ от началото на движението на балона до падането на предмета на земята. [1,5 т.]

г) Начертайте графиката на височината на предмета $h$ над земната повърхност в зависимост от времето $t$ от началото на движението на балона до падането на предмета на земята. [2 т.]

Съпротивлението на въздуха се пренебрегва. Земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Отговори

Решение

А

Графиките на скоростта на телата показват, че скоростите им се увеличават с времето. Тъй като те са прави линии, движението на всяко тяло е равноускорително без начална скорост. Ще означим ускорението на първото тяло с $a_1$ , а на второто – с $a_2$ . Тогава изминатият от всяко тяло път за време $t$ от началото на движение на първото е

$s_1(t) = \dfrac{a_1 t^2}{2}$ , [0,25 т.] $\qquad s_2(t) = \dfrac{a_2 (t-t_1)^2}{2}$ . [0,25 т.]

Когато второто тяло настига първото, изминатите пътища се изравняват и получаваме равенството

a_1 t^2 = a_2 (t - t_1)^2. \qquad (1)

[0,25 т.]

Както се вижда от графиката, скоростите на телата

$v_1(t) = a_1 t$ , [0,25 т.] $\qquad v_2(t) = a_2(t - t_1)$ , [0,25 т.]

се изравняват в момента $t_2$ , което води до равенството

a_1 t_2 = a_2 (t_2 - t_1). \qquad (2)

[0,25 т.]

След като заместим (2) в (1) и коренуваме, намираме

t = \frac{\sqrt{t_2}}{\sqrt{t_2} \mp \sqrt{t_2 - t_1}} t_1 = t_2 \pm \sqrt{t_2(t_2 - t_1)}.

[0,5 т.]

Тъй като търсеното време $t > t_2$ , имаме единствен окончателен резултат

t = t_2 + \sqrt{t_2(t_2 - t_1)}.

[0,5 т.]

Б

а) Балонът се издига с ускорение

a = \frac{2H}{t_1^2} = 4\ \mathrm{m/s^2}.

[0,25 т.]

След $t_2 = 5\ \mathrm{s}$ той има скорост $v_0 = at_2 = 20\ \mathrm{m/s}$ [0,25 т.] и достига височина $h_0 = at_2^2/2 = 50\ \mathrm{m}$ . [0,25 т.] В момента на отделяне от балона предметът има скорост $v_0$ , насочена нагоре [0,25 т.], и ускорение $g$ , насочено надолу към земната повърхност. [0,25 т.] Следователно до падането си на земята предметът извършва два вида движение: отначало равнозакъснително [0,25 т.], а след това свободно падане (равноускорително) [0,25 т.]. Да означим общото време с $t = t' + t''$ . Тогава от закона за скоростта при равнозакъснително движение имаме

v = v_0 - g t' = 0 \;\Rightarrow\; t' = \frac{v_0}{g} = 2\ \mathrm{s}.

[0,5 т.]

След време $t'$ предметът ще достигне максимална височина

h = h_0 + \frac{v_0 t'}{2} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g} = 70\ \mathrm{m}.

[0,5 т.]

От тази височина предметът пада свободно за време $t''$ . Тогава имаме

h = \frac{g(t'')^2}{2} \;\Rightarrow\; t'' = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{v_0}{g}\sqrt{1 + \frac{2gh_0}{v_0^2}} \approx 3{,}74\ \mathrm{s}.

[0,5 т.]

Окончателно времето за падане на предмета на земята е

t = t' + t'' \approx 5{,}74\ \mathrm{s}.

[0,25 т.]

б) Скоростта, с която предметът пада на земята се определя с израза

v = g t'' = v_0 \sqrt{1 + 2gh_0/v_0^2} \approx 37{,}4\ \mathrm{m/s}

[0,5 т.]

в) Скоростта на предмета за първите 5 s нараства равномерно от 0 до 20 m/s, след това намалява равномерно до нула за 2 s и отново нараства до 37,4 m/s при 10,7 s, когато завършва движението му. На фиг. 2 е показана графиката на скоростта на предмета, като отделните участъци са отсечки. [0,75 т.]

Фиг. 2 [0,75 т.]

г) За построяване на графиката на височината $h(t)$ на предмета над земята ще използваме следните изрази:

h(t) = at^2/2 = 2t^2, \quad 0 \le t \le 5\ \mathrm{s},

h(t) = h_0 + v_0(t - t_2) - \frac{g(t-t_2)^2}{2} = 50 + 20(t-5) - 5(t-5)^2, \quad 5 \le t \le 7\ \mathrm{s},

h(t) = h - g(t - t_2 - t')^2/2 = 70 - 5(t-7)^2, \quad 7 \le t \le 10{,}74\ \mathrm{s}.

В таблицата са нанесени пресметнатите стойности на $h(t)$ [1 т.], а на фиг. 3 е показана графиката [1 т.]

$t$ , s	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
$h$ , m	2,0	8,0	18,0	32,0	50,0	65,0	70,0	65,0	50,0	25,0

Графика на скоростта v, m/s на предмета от времето t, s (деления 0–40 m/s и 2.5–12.5 s): линейно нарастване от 0 до 20 m/s за 5 s, спад до 0 при 7 s, после нарастване до около 37,4 m/s при около 10,7 s, отбелязано с пунктирни линии. — Фиг. 2

Графика на височината h, m на предмета над земята от времето t, s (деления 0–75 m и 1–10 s): плавна крива през нанесените точки от таблицата, нарастваща от 0 до максимум около 70 m при t = 7 s и спадаща до 0 малко след t = 10 s. — Фиг. 3

Оригинал в Архива: NOF3_2025_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2025_9solutions.pdf